Độ phức tạp thời gian xác định được biết đến thấp nhất ràng buộc cho một vấn đề tự nhiên trong NP

Câu trả lời này cho các vấn đề lớn chưa được giải quyết trong khoa học máy tính lý thuyết? câu hỏi nói rằng nó mở nếu một vấn đề cụ thể trong NP yêu cầu thời gian $\Omega(n^2)$ .

Nhìn vào các ý kiến ​​dưới câu trả lời làm tôi tự hỏi:

Ngoài phần đệm và các thủ thuật tương tự, độ phức tạp thời gian được biết đến thấp nhất bị ràng buộc trên máy RAM xác định (hoặc máy Turing xác định nhiều băng) cho một vấn đề thú vị trong NP (được nêu theo cách tự nhiên)?

Có bất kỳ vấn đề tự nhiên nào trong NP được biết là không thể giải quyết được trong thời gian xác định bậc hai trên một mô hình máy hợp lý không?

Về cơ bản, những gì tôi đang tìm kiếm là một ví dụ loại trừ yêu cầu sau:

bất kỳ vấn đề NP tự nhiên nào cũng có thể được giải quyết trong thời gian $O(n^2)$ .

Chúng ta có biết bất kỳ vấn đề NP nào tương tự như các vấn đề trong bài báo năm 1972 của Karp hay Garey và Johnson 1979 đòi hỏi thời gian xác định không? Hoặc có thể theo hiểu biết tốt nhất của chúng tôi rằng tất cả các vấn đề NP tự nhiên thú vị có thể được giải quyết trong thời gian xác định ?O ( n 2$\Omega(n^2)$$O(n^2)$

Chỉnh sửa

Làm rõ để loại bỏ bất kỳ sự nhầm lẫn nào do sự không phù hợp giữa giới hạn dưới và không phải là giới hạn trên : Tôi đang tìm kiếm một vấn đề mà chúng ta biết rằng chúng ta không thể giải quyết trong $o(n^2)$ . Nếu một vấn đề đáp ứng các yêu cầu mạnh rằng $\Omega(n^2)$ hoặc $\omega(n^2)$ thời gian là cần thiết (cho tất cả các đầu vào đủ lớn) thì tốt hơn, nhưng vô thường sẽ làm.

Adachi, Iwata và Kasai trong một bài báo JACM năm 1984 bằng cách giảm bớt rằng trò chơi Cat và -Mice có giới hạn thời gian n Ω ( k ) thấp hơn. Vấn đề là trong P cho mỗi k . Vấn đề được chơi trên một đồ thị có hướng. Các động tác bao gồm con mèo và sau đó một trong những con chuột k xen kẽ các bước. Những con chuột giành chiến thắng nếu chúng có thể hạ cánh trên một nút phô mai được chỉ định trước khi con mèo đáp xuống chúng. Câu hỏi là liệu con mèo có chiến thắng bắt buộc không. Nó thực sự là một vấn đề hoàn chỉnh, vì vậy giới hạn dưới thực sự dựa trên đường chéo cung cấp thứ bậc thời gian.$k$$n^{\Omega(k)}$$k$$k$

Grandjean cho thấy rằng giới hạn thời gian thấp hơn của Pippenger, Paul, Szemeredi và Trotter áp dụng cho mã hóa SAT, mặc dù kết quả của Santhanam có thể khiến nó bị giảm.

Ngoài các giới hạn đánh đổi không gian theo thời gian cho SAT được đề cập trong các bình luận khác, còn có một cơ quan làm việc về các giới hạn chương trình phân nhánh, trong đó ngụ ý sự đánh đổi không gian thời gian cho các máy Turing. Đối với các vấn đề như FFT, sắp xếp hoặc tính toán các hàm băm phổ quát, có các giới hạn bậc hai của Borodin-Cook, Abrahamson, Mansour-Nisan-Tiwari, nhưng chúng dành cho các hàm có nhiều đầu ra. Đối với các vấn đề quyết định trong P, có các giới hạn thấp hơn trong không gian thời gian áp dụng cho các giới hạn thời gian là nhưng chúng yếu hơn so với SAT.$O(n \log n)$

Kết quả kinh điển mà tôi biết là do Paul, Pippenger, Szemeredi và Trotter (1983) và tách biệt tính xác định với thời gian tuyến tính không xác định.

Sau đó, có kết quả gần đây hơn của Fortnow, Lipton, van Melkebeek và Viglas (2004) đã được đề cập. Sự độc đáo của kết quả này là nó là kết quả đánh đổi không gian thời gian, giới hạn không gian cũng như thời gian.

Tuy nhiên, tôi cũng nhận thức được một kết quả do Santhanam (2001) chứng minh rằng giới hạn dưới là . Kết quả này mạnh hơn một chút đối với các hạn chế về thời gian so với ở trên, nhưng không cung cấp bất kỳ đảm bảo nào cho không gian.$\omega (n \sqrt{ \log ^{*} n} )$

Với những điều trên cũng như kiến ​​thức của tôi về lĩnh vực này, tôi sẽ nói rằng việc chứng minh rằng có một vấn đề -complete không thể giải quyết trong thời gian xác định O ( n 2 ) sẽ là một bước tiến lớn. Theo như tôi biết, một kết quả như vậy được coi là không tầm thường và có khả năng yêu cầu các kỹ thuật ràng buộc thấp mới.$\mathbb{NP}$$O(n^{2})$

Lưu ý: Từ ngữ của tôi về vấn đề trong đoạn cuối khác với câu hỏi của bạn. Tôi có thể rất khó tính (và có lẽ không giúp được gì nhiều) và nói với bạn rằng tầm thường có vô số vấn đề trong và do đó trong N P không thể giải quyết trong thời gian xác định O ( n 2 ) , theo thời gian xác định Định lý phân cấp.$\mathbb{P}$$\mathbb{NP}$$O(n^{2})$

Chỉnh sửa: Sau khi suy nghĩ thêm, đây là cách bạn có thể tìm thấy sự cố trong phù hợp với nhu cầu của bạn:$\mathbb{NP}$

1. Bất kỳ vấn đề tự nhiên nào với giới hạn dưới của , trong đó f ( n ) = Ω ( n 2 log n ) . Theo định lý phân cấp DTIME, nó đòi hỏi thời gian ω ( n 2 ) . Tôi tin rằng có một số ít trong số này.$DTIME ( f(n) )$$f(n) = \Omega ( n^{2} \log n)$$\omega( n^{2} )$
2. Bất kỳ vấn đề tự nhiên nào có giới hạn dưới của , trong đó f ( n ) = ω ( n 2 ) , bằng cách sử dụng hệ thống phân cấp NTIME. Tôi không nhận thức được bất kỳ vấn đề tự nhiên như vậy.$NTIME ( f(n) )$$f(n) = \omega ( n^{2} )$
3. Bất kỳ vấn đề tự nhiên nào với giới hạn dưới của , trong đó f ( n ) = ω ( n 2 / log n ) . Điều này được chứng minh bằng sự phân tách TIME-SPACE. Tôi tin rằng$SPACE ( f(n) )$$f(n) = \omega ( n^{2} / \log n)$

Các giới hạn dưới ở trên nên giữ cho độ phức tạp của vấn đề.

Một lần nữa, nếu bạn hạn chế sự chú ý của mình đối với các vấn đề -complete, tôi không nhận thức được các giới hạn thấp hơn như vậy.$\mathbb{NP}$

Có lẽ một ví dụ khá tự nhiên đến từ sự phức tạp của Kolmogorov giới hạn thời gian :

Đối với bất kỳ cố định , và chức năng cố định f ( n ) ≤ n bạn có thể hỏi: "Cho một xâu nhị phân x , không một máy Turing M tồn tại như vậy | M | < f ( | x | ) và M sản xuất x trong vòng chưa đầy | x | k bước? "$k$$f(n) \leq n$$x$$M$$|M| < f(|x|)$$M$$x$$|x|^k$

Đây chỉ là câu hỏi tương tự của P = NP theo một cách khác, nếu bạn có thể chứng minh rằng nó không thể giải quyết được trong thời gian bậc hai hoặc tìm giới hạn dưới tuyệt đối, bạn sẽ chứng minh P! = NP