Tài liệu tham khảo về giới hạn mạch dưới

Lời nói đầu

Các hệ thống bằng chứng tương tác và các giao thức Arthur-Merlin đã được Goldwasser, Micali và Rackoff và Babai giới thiệu vào năm 1985. Lúc đầu, người ta cho rằng cái trước mạnh hơn cái sau, nhưng Goldwasser và Sipser cho thấy chúng có cùng sức mạnh ( đối với sự công nhận ngôn ngữ). Do đó, trong bài viết này, tôi sẽ sử dụng hai khái niệm thay thế cho nhau.

Đặt là lớp ngôn ngữ thừa nhận một hệ thống bằng chứng tương tác với vòng. Babai chứng minh rằng . (Một kết quả tương đối.)k tôi P [ O ( 1 ) ] ⊆ pi P $IP[k]$$k$$IP[O(1)] \subseteq \Pi_2^P$

Lúc đầu, không biết liệu số vòng không giới hạn có thể tăng sức mạnh của IP hay không. Đặc biệt, nó được chứng minh là có relativizations mâu thuẫn: Fortnow và Sipser cho thấy đối với một số oracle , nó cho rằng . (Do đó, liên quan đến , không phải là siêu lớp của .)$A$ Một Tôi P [ p o l y ] P $coNP^A \not\subset IP[poly]^A$$A$$IP[poly]$$PH$

Mặt khác, bài báo sau:

Aiello, W., Goldwasser, S., and Hastad, J. 1986. On the power of interaction. In Proceedings of the 27th Annual Symposium on Foundations of Computer Science (October 27 - 29, 1986). SFCS. IEEE Computer Society, Washington, DC, 368-379. DOI= http://dx.doi.org/10.1109/SFCS.1986.36

cho thấy rằng, đối với một số oracle , chúng tôi có . (Do đó, vì như đã nêu ở trên, lớp sau là lớp con của .)I P [ p o l y ] B ⊄ P H B I P [ p o l y ] B ≠ I P [ O ( 1 ) ] B Π P , B$B$$IP[poly]^B \not\subset PH^B$$IP[poly]^B \neq IP[O(1)]^B$$\Pi_2^{P,B}$

Câu hỏi

Bài viết của Aiello, Goldwaseer và Hastad (được trích dẫn ở trên) nêu rõ:

Các kỹ thuật được sử dụng là phần mở rộng của các kỹ thuật để chứng minh các giới hạn thấp hơn trên các mạch có độ sâu nhỏ được sử dụng trong [FSS], [Y] và [H1].

trong đó [FSS], [Y] và [H1] là:

[FSS] Furst M., Saxe J. and Sipser M., "Parity, Circuits, and the Polynomial Time Hierarchy," Proceedings 22nd Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science, 1981, 260-270.

[Y] Yao A. "Separating the Polynomial-Time Hierarchy by Oracles," Proceedings of 6th Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science, 1985, 1-10.

[H1] Hastad J. "Almost optimal lower bounds for small depth circuits," Proceedings of 18th Annual ACM Symposium on Theory of Computing, 1986, 6-20.

Tôi thấy các giấy tờ rất cũ và cực kỳ khó theo dõi. Tôi đã đọc Chương 14 của cuốn sách của Arora & Barak , nhưng dường như nó không bao gồm mọi thứ tôi cần.

Bạn có đề xuất gì về "Mạch dưới giới hạn"?

(Tôi đặc biệt cần các tài liệu tham khảo giống như khảo sát; những tài liệu mới hơn và không cần nhiều chuyên môn thì tốt hơn.)

Những gì bạn muốn là một tài liệu tham khảo tốt để hiểu các giới hạn dưới theo cấp số nhân cho các mạch tính toán hàm PARITY.$AC^0$

Bây giờ bạn chưa nói rõ liệu bạn có thực sự muốn hiểu bằng chứng hay chỉ hiểu những điều ở mức độ cao, cách mà một bài báo khảo sát sẽ giải thích mọi thứ.

Một bài báo khảo sát gần đây tôi đã đọc và thích là " Sự phức tạp của các hàm hữu hạn " của Boppana và Sipser.

Nếu bạn thực sự muốn ngồi xuống và hiểu bằng chứng, thì bạn có thể đọc bằng chứng dựa trên bổ đề Chuyển đổi (xuất hiện trong các tài liệu bạn đã trích dẫn - [FSS], [Y] và [H1]) hoặc Razborov-Smolensky bằng chứng.

Đối với bằng chứng sử dụng Bổ đề chuyển đổi, Håstad's Ph.D. Luận án là một bài đọc tốt, nếu hơi khó theo dõi nếu bạn mới đến khu vực này. Một giải thích tốt hơn về bằng chứng là trong "Giới thiệu về độ phức tạp của mạch và hướng dẫn về bằng chứng của Håstad" của Allan Heydon. Vấn đề duy nhất với nó là tôi không thể tìm thấy nó trực tuyến và tôi có một bản sao cứng. Tôi thực sự khuyên bạn nên làm điều đó nếu bạn chưa quen với sự phức tạp của mạch.

Đối với phương pháp Razborov-Smolensky, chỉ cần google cho nó và bạn sẽ nhận được một loạt các ghi chú bài giảng. Tôi hiểu giới hạn dưới từ ba bài giảng này: Sanjeev Arora , Madhu Sudan và Kristo ff er Arnsfelt Hansen .

Nếu bạn thấy khó giải thích Bổ đề chuyển đổi trong luận án của Hastad, bạn có thể dùng thử `` A Switching Lemma Primer '' của Paul Beame , có phiên bản khác do Razborov (cũng sử dụng rõ ràng cây quyết định, một điều rất quan trọng trong một số ứng dụng của Bổ đề chuyển đổi)

Cuốn sách này là tuyệt vời để giải thích giới hạn thấp hơn, nếu bạn có quyền truy cập vào nó.

Giới thiệu về độ phức tạp của mạch bởi Heribert Vollmer.

Tôi vừa đọc xong, và mặc dù nó nói "giới thiệu" là một điều trị rất sâu sắc về độ phức tạp của mạch. Nó giải thích với chi tiết tất cả các kỹ thuật (phổ biến nhất) để chứng minh giới hạn mạch thấp hơn trong chương 3.

Một tài liệu tham khảo gần đây sẽ là Độ phức tạp chức năng Boolean của Stasys Jukna. Bạn chỉ cần gửi cho anh ta một email hoặc điền vào mẫu để nhận bản pdf của bản nháp.

Một tài liệu tham khảo cũ hơn nhưng vẫn hay là bản khảo sát Độ phức tạp của các hàm hữu hạn của Boppana và Sipser. Khảo sát này rất dễ đọc so với các nguồn khác.

Một tài liệu tham khảo tốt khác là cuốn sách Boolean Hàm và mô hình tính toán của Clote và Kranakis.

Tôi không phải là chuyên gia, nhưng có lẽ có thông tin thú vị trong cuốn sách màu xanh ( http://eccc.hpi-web.de/static/books/The_Complexity_of_Boolean_Fifts/ ).

Ngoài ra còn có một bài báo của Allender vào năm 1997: Mạch phức tạp trước Bình minh của thiên niên kỷ mới

Emanuele Viola đã xuất bản cuốn sách " Về sức mạnh của tính toán độ sâu nhỏ " bao gồm nhiều kết quả về giới hạn mạch thấp hơn.

Một phiên bản sơ bộ của cuốn sách có thể được tìm thấy ở đây .