Giải thích kiểu Wikipedia về Lý thuyết phức tạp hình học

Ai đó có thể cung cấp một lời giải thích ngắn gọn về cách tiếp cận GCT của Mulmuley có thể hiểu được bởi những người không phải là chuyên gia? Một lời giải thích phù hợp với trang Wikipedia về chủ đề này (hiện vẫn còn sơ khai).

Động lực: Tôi đang "đồng đọc" cuốn sách Điện toán lượng tử của Scott Aaronson kể từ Democritus với một người bạn của tôi, một nhà nghiên cứu về lý thuyết dây. Trong lời nói đầu của cuốn sách, Aaronson gọi GCT là "lý thuyết dây của khoa học máy tính". Là một nhà lý thuyết dây, bạn tôi rất hào hứng với tuyên bố này và hỏi tôi GCT là gì. Lúc đó tôi xấu hổ nhận ra mình không có câu trả lời sẵn sàng cho Wikipedia cho câu hỏi của anh ấy.

Tôi không chắc chắn chính xác mức độ nào phù hợp cho bài viết Wikipedia (các bài viết khác nhau dường như nhằm vào các cấp độ chuyên môn khác nhau) hoặc chính xác những gì bạn đang tìm kiếm. Vì vậy, đây là một thử, nhưng tôi mở để phản hồi.

Lý thuyết phức tạp hình học đề xuất nghiên cứu độ phức tạp tính toán của các hàm tính toán (giả sử, đa thức) bằng cách khai thác các đối xứng vốn có về độ phức tạp và bất kỳ đối xứng bổ sung nào của các hàm được nghiên cứu.

Cũng như nhiều cách tiếp cận trước đây, mục tiêu cuối cùng là tách hai lớp phức tạp bằng cách chỉ ra rằng có một đa thức lấy các hàm làm đầu vào (giả sử , bằng các vectơ hệ số của chúng) sao cho biến mất trên mọi hàm nhưng không biến mất trên một số hàm . pfpf∈ C e a s y g h a r d ∈ C h a r $\mathcal{C}_{easy}, \mathcal{C}_{hard}$$p$$f$$p$$f \in \mathcal{C}_{easy}$$g_{hard} \in \mathcal{C}_{hard}$

Ý tưởng quan trọng đầu tiên (xem [GCT1, GCT2]) là sử dụng các phép đối xứng để tự tổ chức các hàm, nhưng để tổ chức các thuộc tính ( hình học alvro ) của các hàm này, như được chụp bởi các đa thức như ở trên. Điều này cho phép sử dụng lý thuyết biểu diễn trong nỗ lực tìm kiếm một như vậy . Những ý tưởng tương tự liên quan đến lý thuyết biểu diễn và hình học đại số đã được sử dụng trong hình học đại số trước đây, nhưng theo hiểu biết của tôi thì không bao giờ hoàn toàn theo cách này.$p$$p$

Ý tưởng quan trọng thứ hai (xem [GCT6]) là tìm các thuật toán tổ hợp (và thời gian đa thức) cho các vấn đề lý thuyết biểu diễn kết quả, và sau đó thiết kế ngược các thuật toán này để chỉ ra rằng tồn tại. Điều này có thể được thực hiện trên tinh thần sử dụng Lập trình tuyến tính (một thuật toán) để chứng minh các tuyên bố kết hợp hoàn toàn nhất định.$p$

Thật vậy, [GCT6] đề nghị giảm các vấn đề lý thuyết biểu diễn ở trên thành các vấn đề Lập trình Integer , sau đó cho thấy các IP kết quả được giải quyết bằng cách thư giãn LP và cuối cùng đưa ra thuật toán kết hợp cho LP kết quả. Các phỏng đoán trong [GCT6] được thúc đẩy bởi các kết quả kỹ thuật đảo ngược được biết đến cho các hệ số Littlewood - Richardson, một vấn đề tương tự nhưng dễ dàng hơn trong lý thuyết biểu diễn. Trong trường hợp các hệ số LR, quy tắc tổ hợp Littlewood-Richardson được đưa ra đầu tiên. Sau này Berenstein và Zelevinsky [BZ] và Knutson và Tao [KT] (xem [KT2] để biết tổng quan thân thiện) đã đưa ra một IP cho các hệ số LR. Knutson và Tao cũng đã chứng minh phỏng đoán bão hòa, ngụ ý rằng IP được giải quyết bằng cách thư giãn LP của nó (x. [GCT3, BI]).

Các kết quả của [GCT5] cho thấy rõ ràng việc khử cộng đồng Bổ đề của Noether về cơ bản tương đương với vấn đề mở khét tiếng trong lý thuyết phức tạp về khử nhiễu hộp đen của kiểm tra nhận dạng đa thức . Roughly làm thế nào điều này phù hợp với chương trình lớn hơn là việc tìm một cơ sở rõ ràng cho các hàm mà (không) biến mất trên (trong trường hợp này, lớp mà định thức hoàn thành) có thể được sử dụng để rút ra quy tắc kết hợp cho vấn đề mong muốn trong lý thuyết biểu diễn, như đã xảy ra trong các thiết lập khác trong hình học đại số. Một bước trung gian ở đây sẽ là tìm một cơ sở cho những mà (không) biến mất trong quá trình chuẩn hóaC e a s y p C e a s $p$$\mathcal{C}_{easy}$$p$$\mathcal{C}_{easy}$ , bằng cách xây dựng một dạng đại số đẹp hơn - nói cách khác, để giải thích bổ đề Bình thường hóa của Noether cho DET.

Ví dụ về tính đối xứng của độ phức tạp và hàm số

Ví dụ: độ phức tạp của hàm - đối với hầu hết các khái niệm phức tạp tự nhiên - không thay đổi nếu chúng ta hoán vị các biến bởi một số hoán vị . Do đó hoán vị là đối xứng của chính sự phức tạp. Đối với một số khái niệm về độ phức tạp (chẳng hạn như độ phức tạp của đại số), tất cả các thay đổi tuyến tính khả nghịch của các biến là đối xứng.f ( x π ( 1 ) , ... , x π ( n ) ) $f(x_1, \dotsc, x_n)$$f(x_{\pi(1)}, \dotsc, x_{\pi(n)})$$\pi$

Các chức năng riêng lẻ có thể có các đối xứng bổ sung. Ví dụ: định thức có các đối xứng cho tất cả các ma trận sao cho . (Từ những gì tôi nhặt được về điều này, tôi nhận thấy rằng điều này tương tự như hiện tượng phá vỡ đối xứng tự phát trong vật lý.)$\det(X)$$\det(AXB) = \det(X^{T}) = \det(X)$$A,B$$\det(AB) = 1$

Một số tiến bộ gần đây [phần này chắc chắn không đầy đủ và kỹ thuật hơn, nhưng một tài khoản hoàn chỉnh sẽ mất hàng chục trang .... Tôi chỉ muốn làm nổi bật một số tiến trình gần đây]

Burgisser và Ikenmeyer [BI2] đã hiển thị giới hạn dưới của phép nhân ma trận theo chương trình GCT cho đến khi sử dụng các biểu diễn với bội số 0 so với số không khác nhau. Landsberg và Ottaviani [LO] đã đưa ra giới hạn dưới được biết đến nhiều nhất về cơ bản trên cấp bậc biên của ma trận bằng cách sử dụng lý thuyết biểu diễn để tổ chức các tính chất đại số, nhưng không sử dụng bội số đại diện cũng như quy tắc tổ hợp.$\frac{3}{2}n^2$$2n^2$

Vấn đề tiếp theo sau các hệ số Littlewood-Richardson là các hệ số Kronecker . Những vấn đề này xuất hiện cả trong một loạt các vấn đề được nghi ngờ là cuối cùng sẽ đạt đến các vấn đề lý thuyết đại diện phát sinh trong GCT, và trực tiếp hơn là các giới hạn trong bội số trong cách tiếp cận GCT đối với nhân ma trận và vĩnh viễn so với xác định. Tìm một quy tắc kết hợp cho các hệ số Kronecker là một vấn đề mở từ lâu trong lý thuyết biểu diễn; Blasiak [B] gần đây đã đưa ra một quy tắc kết hợp như vậy cho các hệ số Kronecker với một hình dạng móc.

Kumar [K] đã chỉ ra rằng một số biểu diễn nhất định xuất hiện trong vòng tọa độ của hệ số xác định với bội số khác không, giả sử cột phỏng đoán hình vuông Latin (xem Huang-Rota và Alon-Tarsi; phỏng đoán này, có lẽ cũng không trùng khớp, xuất hiện trong [BI2 ]). Do đó, các biểu diễn này không thể được sử dụng để tách vĩnh viễn khỏi định thức trên cơ sở bội số không so với bội số, mặc dù vẫn có thể sử dụng chúng để tách vĩnh viễn khỏi định thức bằng bất đẳng thức tổng quát hơn giữa các bội số.

Tài liệu tham khảo [B] J. Blasiak. Hệ số Kronecker cho một hình dạng móc. arXiv: 1209.2018, 2012.

[BI] P. Burgisser và C. Ikenmeyer. Một thuật toán dòng chảy tối đa cho tính tích cực của các hệ số Littlewood-Richardson. FPSAC 2009.

[BI2] P. Burgisser và C. Ikenmeyer. Giải thích giới hạn dưới thông qua lý thuyết phức tạp hình học. arXiv: 1210.8368, 2012.

[BZ] AD Berenstein và AV Zelevinsky. Hệ số nhân ba cho và phổ của đại số bên ngoài của biểu diễn liên kết. $\mathfrak{sl}(r+1)$J. Đại số kết hợp. 1 (1992), không. 1, 7 đỉnh22.

[GCT1] KD Mulmuley và M. Sohoni. Lý thuyết phức tạp hình học I: Cách tiếp cận P so với NP và các vấn đề liên quan. SIAM J. Tính toán. 31 (2), 496 bóng526, 2001.

[GCT2] KD Mulmuley và M. Sohoni. Lý thuyết phức tạp hình học II: Hướng tới những trở ngại rõ ràng cho việc nhúng giữa các loại lớp. SIAM J. Comput., 38 (3), 1175 xăng1206, 2008.

[GCT3] KD Mulmuley, H. Narayanan và M. Sohoni. Lý thuyết phức tạp hình học III: về việc quyết định không biến đổi hệ số Littlewood-Richardson. J. Đại số kết hợp. 36 (2012), không. 1, 103 Mũi 110.

[GCT5] KD Mulmuley. Lý thuyết phức tạp hình học V: Sự tương đương giữa quá trình khử cực của hộp đen trong kiểm tra nhận dạng đa thức và khử cực của Bổ đề chuẩn hóa của Noether. FOCS 2012, cũng arXiv: 1209.5993.

[GCT6] KD Mulmuley. Lý thuyết phức tạp hình học VI: sự lật qua tính tích cực. , Báo cáo kỹ thuật, khoa Khoa học máy tính, Đại học Chicago, tháng 1 năm 2011.

[K] S. Kumar. Một nghiên cứu về các đại diện được hỗ trợ bởi việc đóng quỹ đạo của yếu tố quyết định. arXiv: 1109.5996, 2011.

[LO] JM Landsberg và G. Ottaviani. Giới hạn dưới mới cho thứ hạng biên của phép nhân ma trận. arXiv: 1112.6007, 2011.

[KT] A. Knutson và T. Tao. Mô hình tổ ong của các sản phẩm . I. Bằng chứng về phỏng đoán bão hòa. $\text{GL}_n(\mathbb{C})$J. Amer. Môn Toán. Sóc. 12 (1999), số 4, 1055 bóng1090.

[KT2] A. Knutson và T. Tao. Mật ong và tổng của ma trận Hermiti. Thông báo Amer. Môn Toán. Sóc. 48 (2001), số 2, 175 Quảng186.

Gần đây tôi đã đưa ra câu trả lời cho một câu hỏi liên quan trên Mathoverflow https://mathoverflow.net/questions/277408/what-are-the-civerse-breakENCs-of-geometric-complexity-theory

Vì trang web này có lẽ là một địa điểm tốt hơn, tôi chỉ cần lặp lại câu trả lời dưới đây. Tài liệu tham khảo cho Joseph hoặc Timothy là về các bài đăng khác cho câu hỏi MO đó.

---

Đặt là ma trận và độ đa thức đồng nhất bậc được cho bởi yếu tố quyết định. Hãy mà mất vĩnh viễn của một Subatrix và nhân với dạng tuyến tính yêu thích của một người để tạo ra một đa thức đồng nhất khác của độ (người ta cũng có thể sử dụng mục thay vì ). Sửa đổi này được gọi là đệm . Sau đó xác định số $X=(X_{ij})_{1\le i,j\le n}$$n\times n$$F_1(X)={\rm det}(X)$$n$

$$F_2(X)=(X_{nn})^{n-m}\times {\rm perm}\left[(X_{ij})_{1\le i,j\le m}\right]$$ $m\times m$$n$$X_{11}$$X_{nn}$ $$c(m)=\min\{\ n\ |\ n\ge m\ \ {\rm and}\ \ \overline{G\cdot F_2}\subset \overline{G\cdot F_1}\ \}$$ trong đó là hoạt động trên không gian affine của chiều trong đó sống và là các quỹ đạo của Zariski. Giả thuyết lớn trong khu vực hoặc Giả thuyết của Valiant (một phiên bản phức tạp của ) là phát triển nhanh hơn bất kỳ đa thức nào trong .$G$$GL(n^2)$$n^2$$X$$\overline{G\cdot F_i}$${\rm P}\neq{\rm NP}$$c(m)$$m$

Bây giờ nếu , thì người ta có một bản đồ -equivariant giả định giữa các phần độ của các vòng tọa độ của các lần đóng quỹ đạo này. Vì vậy, các trò chơi là để cố gắng chứng minh rằng điều này không xảy ra, ví tương đối không đủ lớn để , bằng cách chứng minh sự tồn tại của một cản trở đa dạng , ví dụ, một đại diện tối giản mà bội đáp ứng $\overline{G\cdot F_2}\subset \overline{G\cdot F_1}$$G$

$$\mathbb{C}[\overline{G\cdot F_1}]_d\longrightarrow \mathbb{C}[\overline{G\cdot F_2}]_d$$ $d$$n$$m$$\lambda$ $${\rm mult}_{\lambda}(\mathbb{C}[\overline{G\cdot F_1}]_d)<{\rm mult}_{\lambda}(\mathbb{C}[\overline{G\cdot F_2}]_d)$$ hoặc ở cấp độ của lý tưởng $${\rm mult}_{\lambda}(I[\overline{G\cdot F_1}]_d)>{\rm mult}_{\lambda}(I[\overline{G\cdot F_2}]_d)\ .$$

Một cách tiếp cận lạc quan là cố gắng chỉ ra rằng có các vật cản xảy ra , nghĩa là, sao cho và . Hy vọng này đã bị đè bẹp trong công việc của Bürgisser, Ikenmeyer và Panova được đề cập bởi Timothy. Tuy nhiên, khả năng vật cản bội vẫn còn mở.$\lambda$${\rm mult}_{\lambda}(\mathbb{C}[\overline{G\cdot F_1}]_d)=0$${\rm mult}_{\lambda}(\mathbb{C}[\overline{G\cdot F_2}]_d)>0$

Tôi nghĩ cách tiếp cận của Mulmuley là cố gắng chứng minh sự tồn tại của các vật cản đa bội như vậy bằng cách tận dụng tất cả các công cụ có sẵn từ lý thuyết biểu diễn để tính toán các bội số này. Cá nhân, tôi chưa bao giờ là một fan hâm mộ của phương pháp này. Đã nghiên cứu lý thuyết bất biến thế kỷ 19 ở một số độ sâu, đối với tôi, việc tiếp cận vấn đề tách quỹ đạo bằng cách sử dụng các công cụ rõ ràng từ thời đó là điều tự nhiên hơn. Bài viết này của Gorchow dường như cũng chỉ theo một hướng tương tự (tôi nghi ngờ bài viết thứ ba được đề cập bởi Joseph nằm trong cùng một hướng). Trong ngôn ngữ cổ điển (xem Turnbull hoặc Littlewood ), người ta phải xây dựng rõ ràng một đồng thời hỗn hợp sẽ biến mất trên$F_1$nhưng không phải trên . Người ta cũng phải làm điều này vô cùng thường xuyên (tính bằng ) để thiết lập thuộc tính tăng trưởng siêu đa thức. Một đồng thời như vậy giống như một bản đồ -equivariant cụ thể từ mô hình yêu thích của bạn cho biểu diễn không thể sửa chữa cho đại số đa thức trong biến (Grochow gọi đó là mô-đun phân tách ). Các nhà lý thuyết bất biến từ thế kỷ 19 đã có hai phương pháp để tạo ra các đối tượng như vậy: lý thuyết loại bỏ và đại số sơ đồ .$F_2$$m$$G$$\lambda$$n^2$$X$

Một ví dụ rất nhỏ trong đó và là các dạng phân nhị phân dưới tác động của (xem câu hỏi MO này ) có nghĩa là và Một đồng thời tách biệt (trên thực tế là một biến số) là Hessian của một tứ phân vị chung Nó biến mất (giống hệt trong ) cho nhưng không cho$F_1$$F_2$$G=SL(2)$

$$F_1(x,y)=x^4+8x^3y+24x^2y^2+32xy^3+16y^4$$ $$F_2(x,y)=16x^4-24x^3y+12x^2y^2-2xy^3\ .$$ $F$ $$H(F)(x,y)=\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}-\left( \frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y} \right)^2\ .$$ $x,y$$F=F_1$$F=F_2$. Trong trường hợp này, Hessian có thể được xem như một bản đồ tương đương tạo thành không thể suy giảm được đưa ra bởi sức mạnh đối xứng thứ hai (của biểu diễn hai chiều cơ bản) vào vòng tọa độ cho không gian affine của tứ phân vị.

Vì vậy, một "kế hoạch" siêu tối ưu có thể có cho GCT bao gồm chuỗi các bước sau.

1) Tìm cách tạo ra hàng tấn đồng thời.

2) Xác định một số ứng cử viên rõ ràng cho việc biến mất trên và chứng minh tài sản đó.$F_1$

3) Hiển thị họ không biến mất trên .$F_2$

Bước 1) về nguyên tắc được giải quyết bằng Định lý cơ bản đầu tiên cho nhưng có một sự không phù hợp: định thức là một đối tượng tự nhiên trong lý thuyết bất biến cho (hành động trên các hàng và cột) chứ không phải . Người ta có thể cố gắng sửa chữa sự không phù hợp bằng cách biểu thị khối xây dựng cơ bản cho lý thuyết bất biến của theo cách hiểu về (xem câu hỏi MO này cho một vấn đề giảm tương tự từ đến ).$GL(n^2)$$GL(n)\times GL(n)$$GL(n^2)$$GL(n^2)$$GL(n)\times GL(n)$$SL(n(n+1)/2)$$SL(n)$

Đoán các ứng cử viên phù hợp cho Bước 2) có vẻ khó đối với tôi. Biết trước rằng một số bội số chắc chắn sẽ giúp ích. Mặc dù, người ta có thể trì hoãn và trì hoãn bằng chứng về sự biến mất không xác định của người đồng hành với Bước 3) dù sao cũng sẽ hiển thị nhiều hơn thế. Nếu một người có các ứng cử viên phù hợp như vậy, cho thấy họ biến mất trên có thể dễ dàng bằng các lý lẽ, người ta có thể gọi nguyên tắc loại trừ của Pauli (hợp đồng đối xứng với đối xứng), thuộc tính số màu cao hoặc đơn giản là 'thiếu không gian'. F ${\rm mult}_{\lambda}(I[\overline{G\cdot F_1}]_d)$$F_1$

Tuy nhiên, tôi nghĩ phần khó nhất là Bước 3). Ví dụ, trong bài viết của tôi "16.051 công thức cho bất biến ba khối của Ottavian" với Ikenmeyer và Royle, việc đoán được thực hiện bằng tìm kiếm trên máy tính, nhưng với ứng cử viên phù hợp trong tay, việc biến mất trên tương đối dễ giải thích (đúng hơn ví dụ khá hay về số màu do các đặc tính toàn cầu của đồ thị chứ không phải là một số cụm lớn). Sự tương tự của Bước 3) trong bài viết của chúng tôi đã được thực hiện bằng tính toán máy tính vũ phu và chúng tôi vẫn không có manh mối về lý do tại sao nó là sự thật. Vấn đề nghịch lý liên quan đến Bước 3) là phỏng đoán Alon-Tarsi (xem câu hỏi MO này và câu hỏi này$F_1$quá). Theo tôi, người ta cần phải đạt được tiến bộ cho loại câu hỏi đó ( Định lý Bốn màu cũng thuộc loại này, thông qua việc giảm do Kauffman và Bar-Natan) trước khi phỏng đoán của Valiant.

Vì câu hỏi là về những đột phá trong GCT. Tôi nghĩ rằng bài viết này của Landsberg và Ressayre cũng đáng được chú ý vì nó cho thấy một phỏng đoán hợp lý cho giá trị chính xác của là Lưu ý rằng một bằng chứng về khái niệm cho cách tiếp cận "Bước 1), 2), 3)", về một vấn đề đơn giản hơn nhiều, đã được đưa ra bởi Bürgisser và Ikenmeyer trong bài viết này . Cuối cùng, để biết thêm thông tin về GCT, tôi đặc biệt khuyên bạn nên xem xét "Lý thuyết phức tạp hình học: giới thiệu về địa lý" của Landsberg.( 2 m m ) - 1 $c(m)$

$$\left(\begin{array}{c}2m\\ m \end{array}\right)-1\ .$$

Tái bút: Tôi nên nói thêm rằng sự bi quan của tôi là đặc trưng cho Giả thuyết Valiant, đó là 'Giả thuyết Riemann' trong lĩnh vực này. Tất nhiên, người ta không nên ném em bé bằng nước tắm và chê bai GCT vì cho đến nay không thể chứng minh được phỏng đoán này. Có rất nhiều vấn đề dễ tiếp cận hơn trong lĩnh vực này, nơi tiến trình đã được thực hiện và dự kiến ​​sẽ có nhiều tiến bộ hơn. Xem cụ thể bài viết được đề cập ở trên của Grochow và đánh giá của Landsberg.

GCT là một chương trình nghiên cứu để chứng minh giới hạn lý thuyết phức tạp và theo cách nào đó thách thức một bản tóm tắt / tóm tắt kiểu wikipedia do tính trừu tượng nặng nề của nó, nhưng đối với các khảo sát tốt về đám đông TCS thì có sẵn. [2] [3] [4] (và chắc chắn Wikipedia là nơi tốt nhất cho các mục wikipedia). nó được xây dựng vào đầu những năm 2000 bởi Mulmuley và cả hai đều khá mới trong lý thuyết phức tạp và rất tiên tiến, sử dụng và áp dụng toán học tiên tiến (hình học đại số) không bắt nguồn từ lý thuyết phức tạp / TCS.

Cách tiếp cận được một số nhà chức trách coi là có triển vọng nhưng có thể quá phức tạp, nghĩa là nó không được chứng minh và do đó gây tranh cãi liệu nó có thể vượt qua các "rào cản" được biết đến tiêu chuẩn hay không. (theo nghĩa này, nó thể hiện một số dấu hiệu của cái gọi là "sự thay đổi mô hình" của Kuhnian.) thậm chí Mulmuley đề xuất rằng nó thực sự có thể không thành công (trong việc chứng minh sự phân tách giai cấp phức tạp lớn) sau nhiều thập kỷ phát triển hơn nữa. Đây là một ý kiến ​​hoài nghi của Fortnow, một cơ quan hàng đầu trong lĩnh vực lý thuyết phức tạp: [1]

Hãy xem xét một ngọn núi lớn và bạn muốn đến đỉnh núi. Ketan đi cùng và nói rằng anh ta sẽ dạy bạn cách tạo ra các công cụ cần thiết để leo lên núi. Sẽ mất một tháng học tập chăm chỉ và thực sự những công cụ này không đủ tốt để leo lên núi. Chúng cần được cải thiện và những cải tiến này sẽ không xảy ra trong cuộc đời của bạn. Nhưng bạn không muốn tìm hiểu làm thế nào những người khác sẽ leo lên thế kỷ núi từ bây giờ?

[1] Cách chứng minh NP khác với blog P Fortnow

[2] Tìm hiểu phương pháp tiếp cận Mulmuley-Sohoni cho P so với NP Regan

[3] Trên P so với NP và Lý thuyết phức tạp hình học Mulmuley

[4] Chương trình GCT hướng tới vấn đề P so với NP Mulmuley