Giới hạn dưới của việc kiểm tra kết nối đồ thị trên luồng

8

Tôi muốn kiểm tra trạng thái của không gian giới hạn dưới để giải quyết vấn đề kết nối trên luồng trong $p$ pass. Các $\Omega(n/p)$ đã được nêu trong các tài liệu nhưng nó có vẻ là một vấn đề hơi khác nhau. Tôi đã bỏ lỡ một cái gì đó? Chi tiết bên dưới.

Cho một đồ thị $G$ gồm $n$ đỉnh trong một luồng (các cạnh được trình bày từng cái một theo cách truyền phát), chúng tôi muốn kiểm tra xem $G$ có được kết nối hay không. Không gian tối thiểu mà thuật toán cần để giải quyết vấn đề này là gì khi nó được phép đọc luồng cho $p$ pass?

Feigenbaum và cộng sự . đã chỉ ra không gian $\Omega(n)$ cho một thuật toán vượt qua cho một loại vấn đề bao gồm vấn đề này (xem Phần 5.1) và nói rằng không gian $\Omega(n/p)$ giới hạn thấp hơn cho kết nối đã được chứng minh bởi Henzinger et al. . Tuy nhiên, vấn đề ràng buộc thấp nhất duy nhất cho vấn đề "kết nối" thực sự là vấn đề "kết nối $s$ - $t$ ": các đỉnh $s$ và $t$ , chúng tôi muốn kiểm tra xem $s$ và $t$ nằm trong cùng một thành phần được kết nối (Định lý 6). Bằng chứng về điều này không thể được sử dụng cho vấn đề kết nối vì có thể có nhiều sự cố đỉnh không có cạnh.

Vì vậy, câu hỏi của tôi là, đối với phiên bản cụ thể của kết nối mà tôi đã nêu, có giới hạn nào thấp hơn được biết đến cho luồng -pass không? $p$

lower-bounds data-streams

— Danu
nguồn

6

Đây là một giảm từ Disjointness có thể hoạt động:

Cho đầu vào vectơ bit và , Alice và Bob muốn đưa ra các tập hợp cạnh và cho đồ thị sao cho được kết nối iff không có chỉ số sao cho . $n$ $x$ $y$ $E_1$ $E_2$ $G$ $G$ $x_i = y_i = 1$

Đồ thị sẽ có đỉnh đặt . Đối với , Alice thêm cạnh vào iff ; tương tự, Bob thêm cạnh $G$ ${0,1,\ldots,n} \times {0,1}$ $i < n$ $((i-1,0),(i,0))$ $E_1$ $x_i = 0$ để khi và chỉ khi . Thêm vào đó, Alice cho biết thêm tất cả các cạnh của form cho . $((i-1,1),(i,1))$ $E_2$ $y_i = 0$ $((i,0),(i,1))$ $i\in {0,\ldots,n}$

Tôi nghĩ rằng biểu đồ này có một thành phần được kết nối iff được kết nối với , điều này xảy ra với mỗi , hoặc hoặc là 0; đó là, hai đầu vào là rời nhau. $(0,0)$ $(n,0)$ $i\in{1,2,\ldots,n}$ $x_i$ $y_i$

— Srikanth
nguồn

1

Cái này đẹp đấy! Sử dụng ý tưởng của bạn, chúng tôi cũng có thể làm điều này: Xây dựng

nút

cộng

và

. Có một cạnh từ

đến

nếu

và từ

đến

nếu

.

n

$n$

v_{1}, . . ., v_{n}

$v_1, ..., v_n$

s

$s$

t

$t$

s

$s$

v_{i}

$v_i$

x_{i} = 0

$x_i=0$

t

$t$

v_{i}

$v_i$

y_{i} = 0

$y_i=0$

— Danu

Tuyệt quá! Không nên

và

cũng được nối với nhau bằng một cạnh?

s

$s$

t

$t$

— Srikanth

Vâng bạn đã đúng.

và

nên được kết nối bởi một cạnh.

s

$s$

t

$t$

— Danu

5

Một tốt hơn thấp hơn bị ràng buộc khi $p=1$ là bit, nơi . (The hạn có thể được thực hiện tùy tiện gần cho đủ lớn , và tiệm cận nó là .) $n \log n - n (\log \log n + 3/2)$ $\log = \log_2$ $3/2$ $1$ $n$ $\log\log e - \log e \approx 0.91$

Người ta cũng có thể áp dụng một mức giảm đơn giản từ một trò chơi giao tiếp kết nối đồ thị để có được giới hạn thấp hơn . Tuy nhiên, do yếu tố hằng số tiềm ẩn liên quan đến số lượng khối được đảm bảo bởi Bổ đề chính quy của Szemerédi , nên dường như nó trở nên nhỏ đến mức vô dụng đối với các ứng dụng. $\Omega(n \log n)$

Vì vậy, giới hạn dưới chính xác hơn cho trường hợp -pass là $p$ . Tôi vẫn không tin rằng đây là giới hạn dưới thực sự, vìđạt được một ràng buộc như vậy dường như là không thể- sự phụ thuộc thực sự vàodường như yếu hơn so với tỷ lệ nghịch. Tuy nhiên, giới hạn tối thiểu phải là $\frac{1}{p}(n\log n - n(\log\log n + 3/2))$ $p$ , cải thiện. $\Omega(\frac{1}{p}n\log n)$ $\Omega(n/p)$

— Salamás Salamon
nguồn