Có thể có một tập hợp ẩn cực kỳ lớn của các vấn đề có thể giải quyết đa thức trong các vấn đề NP-Complete không?

Giả sử P! = NP.

Chúng tôi biết rằng chúng tôi có thể thực hiện các trường hợp 3-SAT dễ dàng bất cứ lúc nào. Chúng tôi cũng có thể tạo ra những gì chúng tôi tin là trường hợp khó (vì thuật toán của chúng tôi không thể giải quyết chúng nhanh chóng). Có bất cứ điều gì ngăn chặn tập hợp các trường hợp cứng, nhỏ tùy ý, miễn là đối với bất kỳ kích thước thể hiện cụ thể nào (n) chỉ có các thể hiện Poly (n) (hoặc thậm chí không đổi) có kích thước Poly (n) hoặc nhỏ hơn không?

Đối với bất kỳ trường hợp 3-SAT khó khăn nào, chúng tôi sẽ phải thêm tập hợp tất cả các trường hợp 3-SAT mà nó giảm để lặp qua chu trình giảm NP-Hoàn thành, nhưng tôi không thấy trước điều này thêm vào số lượng các trường hợp khó .

Trong thế giới này, chúng ta có thể xây dựng một thuật toán giải quyết đa thức tất cả các bài toán hoàn chỉnh NP, ngoại trừ một số ít.

Chỉnh sửa: Một biến thể nhẹ nhàng hơn của câu hỏi: ngay cả khi chúng tôi hiển thị P! = NP, làm thế nào chúng tôi có thể biết liệu một phương pháp nhất định để tạo kích thước n vấn đề 3-SAT có thực sự tạo ra một khó khăn với xác suất cần thiết không? Nếu không có cách nào để biết từ P! = NP một mình, điều gì được yêu cầu để cho thấy rằng chúng ta có thể tạo ra một vấn đề NP-đầy đủ?

1) Tùy thuộc vào chính xác ý nghĩa của nó, kết luận trong quan sát của Kaveh có thể được củng cố từ đến , về cơ bản sử dụng Định lý Mahaney. Đó là, nếu có một thuật toán giải SAT và chạy kịp thời trên tất cả các trường hợp có độ dài ngoại trừ các trường hợp có thể như vậy, trong đó và đều là đa thức, thì thực tế . Xem, ví dụ Meyer và Paterson và các tài liệu tham khảo trong đó, hoặc chuyên khảo "Cấu trúc và cấu trúc" của Schizing$\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{P/poly}$$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\leq p(n)$$n$$q(n)$$p$$q$$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$. Vì vậy, nếu điều này nắm bắt khái niệm "trường hợp cứng" của bạn thì phải có nhiều hơn nhiều trường hợp cứng cho mỗi , giả sử .$poly(n)$$n$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

FYI, các thuật toán như vậy đôi khi được gọi là thuật toán "apt" hoặc "APT", cho "thời gian gần như đa thức" (không bị nhầm lẫn với lớp phức tạp hiện đại hơn , xảy ra tương đương với ).$\mathsf{almostP}$$\mathsf{BPP}$

2) Ở trên có thể được tăng cường hơn nữa, như sau. Giả sử . Sau đó, ở trên nói rằng đối với bất kỳ thuật toán nào giải SAT và bất kỳ đa thức nào , có một tập hợp các trường hợp có kích thước siêu đa thức mà thuật toán mất nhiều thời gian hơn . Nhưng bộ có thể phụ thuộc vào thuật toán.$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$p$$p(n)$

Kết quả mạnh hơn chuyển đổi các bộ lượng hóa và kết luận: có một kích thước siêu đa thức H (cho "cứng") sao cho mọi thuật toán A giải SAT và bất kỳ p đa thức nào, A đều mất nhiều thời gian hơn chính xác nhiều yếu tố của H. Một H như vậy được gọi là lõi phức tạp (giả định kích thước không phải là một phần của định nghĩa lõi phức tạp). Định nghĩa và sự tồn tại của lõi phức tạp được đưa ra bởi Lynch . Kết quả tôi vừa trích dẫn được chứng minh bởi Orponen và Schoding .$p(n)$

Không ai đã đề cập đến bài báo "Năm thế giới" nổi tiếng của Impagliazzo.

http://www.cs.ucsd.edu/users/russell/aenses.ps

một góc độ khác cho câu hỏi này (bên ngoài tham chiếu đến định lý của Mahaney). "điểm chuyển tiếp" trong SAT là một nghiên cứu về hiện tượng phân phối cá thể dễ và khó này xung quanh một "điểm quan trọng" trong đó xác suất của các trường hợp cứng được tối đa hóa. các tài liệu về chủ đề này dài và phức tạp. nó có cả phương pháp thực nghiệm và phân tích. nó có mối quan hệ sâu sắc với vật lý / nhiệt động lực học. [3] Thật không may, hiện tại không có mục Wikipedia về chủ đề lý thuyết phức tạp rất quan trọng và cơ bản này. Ngoài ra, dường như không có nhiều khảo sát tổng thể hoặc "tiêu chuẩn" về chủ đề này. đây là một giới thiệu gần đây để bắt đầu SAT [1] và chuyển tiếp pha TCS nói chung. [4] câu hỏi của bạn cũng thuộc một loại "$\stackrel{?}{=}$

Có bất cứ điều gì ngăn chặn tập hợp các trường hợp cứng, nhỏ tùy ý, miễn là đối với bất kỳ kích thước thể hiện cụ thể nào (n) chỉ có các thể hiện Poly (n) (hoặc thậm chí không đổi) có kích thước Poly (n) hoặc nhỏ hơn không?

một lần nữa định lý của Mahaney (diễn đạt theo một cách hơi khác) trả lời trực tiếp điều này. một cách khác để xem xét điều này là cố gắng thu hẹp phân phối các thể hiện theo một số cách chính / đặc trưng dẫn đến các hàm hoàn thành NP. một ví dụ về điều này từ độ phức tạp của mạch đơn điệu là "các hàm cắt". [2]

[1] Dự đoán sự hài lòng ở giai đoạn chuyển tiếp Lin Xu, Holger H. Hoos, Kevin Leyton-Brown

[2] Paul ES Dunne: Sự phức tạp của các hàm cắt lát trung tâm. Lý thuyết. Tính toán. Khoa học. 44: 247-257 (1986)

[3] Giải pháp phân tích và thuật toán cho các vấn đề thỏa mãn ngẫu nhiên M. Mezard, G. Parisi, R. Zecchina

[4] Chuyển pha trong các vấn đề hoàn thành NP: một thách thức đối với xác suất, tổ hợp và khoa học máy tính của Moore