Tách Logspace khỏi thời gian đa thức

Rõ ràng là bất kỳ vấn đề nào có thể quyết định trong logspace xác định ( ) chạy trong hầu hết thời gian đa thức ( P ). Có một sự giàu có của các tầng lớp phức tạp giữa L và P . Ví dụ bao gồm N L , L o g C F L , N C i , S A C i , A C i , S C i . Người ta tin rộng rãi rằng L ≠ P .$L$$P$$L$$P$$NL$$LogCFL$$NC^i$$SAC^i$$AC^i$$SC^i$$L \neq P$

Trong một trong tôi bài đăng trên blog tôi đã đề cập hai cách tiếp cận (cùng với phỏng đoán tương ứng) để chứng minh . Cả hai cách tiếp cận này đều dựa trên các chương trình phân nhánh và cách nhau 20 năm !! Có những cách tiếp cận khác và / hoặc phỏng đoán về phía tách L từ P (hoặc) tách bất kỳ lớp trung gian giữa L và P .$L \neq P$$L$$P$$L$$P$

Mạch sâu cận dưới (tương đương, giới hạn kích thước thức thấp hơn) có lẽ là cách tiếp cận tự nhiên nhất: Một siêu chiều sâu thấp hơn bị ràng buộc đối với một vấn đề trong P sẽ tách P từ L , và Karchmer-Wigderson kỹ thuật phức tạp giao tiếp có thể hãy là người tự nhiên cho điều đó$\log^2(n)$$\mathsf P$$\mathsf P$$\mathsf L$

[1] chứng minh giới hạn dưới đối với các trường hợp của luồng cực nhỏ có kích thước bit đủ lớn (nhưng vẫn tuyến tính) so với kích thước của biểu đồ, và hơn nữa đã chứng minh rằng nếu người ta có thể hiển thị cùng giới hạn thấp hơn cho các đầu vào đủ nhỏ kích thước bit nó sẽ ngụ ý (và do đó P ≠ L ). Ở cấp độ cao, giống như câu trả lời của Noam ở chỗ nó là về việc chứng minh giới hạn độ sâu mạch (= giới hạn kích thước công thức), nhưng dường như là một hướng rất khác so với các trò chơi Karchmer-Wigderson.$\mathsf{P} \neq \mathsf{NC}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{L}$

Chi tiết hơn, [1] hiển thị như sau. Sử dụng ký hiệu giống như trong bài báo, hãy để biểu thị ngôn ngữ dòng chảy nhỏ nhất. Chúng ta có thể nghĩ về ngôn ngữ mincost dòng chảy trên n đồ thị -vertex, ký hiệu là L ( n ) , là một tập hợp con của Z k ( n ) đối với một số k ( n ) = Θ ( n 2 ) , với số nguyên được mã hóa bởi bit chuỗi . Đặt B ( a , n ) biểu thị tập hợp tất cả các vectơ trong Z k ( n $L$$n$$L(n)$$\mathbb{Z}^{k(n)}$$k(n) = \Theta(n^2)$$B(a,n)$$\mathbb{Z}^{k(n)}$trong đó mỗi tọa độ nguyên có kích thước bit nhiều nhất . Với một hàm f ( x 1 , ... , x k ) (chúng tôi sẽ chỉ định những loại chức năng sau), chúng ta nói rằng f tách L ( n ) trong B ( một , n ) nếu các điểm trong L ( n ) ∩ B ( a , n ) chính xác là những người → x ∈ B ( a $an$$f(x_1, \dotsc, x_k)$$f$$L(n)$$B(a,n)$$L(n) \cap B(a,n)$ sao cho f ( → x ) = 1 .$\vec{x} \in B(a,n)$$f(\vec{x}) = 1$

$L(n)$$B(a,n)$M ≤ 2 n / d x 1 , ... , x k một < 1 / ( 2 d ) P ≠ N $\det(M(\vec{x}))$$M$$\leq 2^{n/d}$$x_1, \dotsc, x_k$$a < 1/(2d)$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NC}$

Mối quan hệ giữa các bit-bound và kích thước ràng buộc là rất quan trọng ở đây. Trong cùng một bài báo, ông cho thấy:2 n /$an$$2^{n/d}$

Định lý [1, Định lý 7.4] Giả thuyết về mệnh đề trước giữ cho tất cả các giới hạn bit đủ lớn .$a$

Bằng chứng của định lý trên sử dụng một số búa nặng làm hộp đen, nhưng nếu không thì là cơ bản (lưu ý: "sơ cấp" " dễ dàng "). Cụ thể, nó sử dụng Milnor-Thom bị ràng buộc vào số lượng các thành phần được kết nối của một giống bán nguyệt thực sự (cùng giới hạn được sử dụng bởi Ben-Or để chứng minh các giới hạn thấp hơn về Phân biệt phần tử / Sắp xếp trong mô hình cây tính toán thực), phân tách Collins ( được sử dụng để chứng minh loại bỏ định lượng hiệu quả qua ), một đối số vị trí chung và một vài ý tưởng khác. Tuy nhiên, tất cả các kỹ thuật này chỉ phụ thuộc vào mức độ của các đa thức liên quan và do đó không thể được sử dụng để chứng minh như trong Đề xuất trên (thực tế, [1, Dự luật 7.5] xây dựng một đa thức$\neq$P ≠ N C g det g $\mathbb{R}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NC}$$g$ có cùng mức độ với sao cho mệnh đề trên không thành công với thay cho ). Phân tích tình huống này và tìm kiếm các tài sản vượt quá mức độ là một trong những nguồn cảm hứng cho GCT.$\det$$g$$\det$

[1] K. Mulmuley. Giới hạn dưới trong Mô hình song song không có hoạt động bit . SIAM J. Comput., 28 (4), 1460 Phiên1509, 1999

Nó làm cho ngày của tôi khi người bạn James của tôi nói với tôi rằng chủ đề này từ lâu đã được nhen nhóm. Cảm ơn vì điều đó.

Ngoài ra, tôi rất muốn chia sẻ một số tài liệu tham khảo thú vị có liên quan đến L vs Log (DCFL) vs Log (CFL). Có một ngày tuyệt vời!

http://link.springer.com/ch CHƯƠNG / 10.1007% 2F978-3-642-14031-0_35 # page-1

http://link.springer.com/ch CHƯƠNG / 10.1007/3-540-10003-2_89? no-access = true

http://link.springer.com/ch CHƯƠNG / 10.1007%2F978-3-642-00982-2_42#page-1

http://www.researchgate.net/publication/220115950_A_Hardest_Lingu_Recognized_by_Two-Way_Nondeterministic_Pushdown_Automata

bài báo mới này vừa được Luca Aceto nhấn mạnh trong blog của mình dưới dạng một bài viết hay nhất của sinh viên EATCS tại ICALP 2014 và có một cách mới lạ để tách NL / P:

• Kết quả độ cứng cho giao lộ Không trống rỗng Wehar

  $c_1$$c_2$$k$$k$$c_1 k \log(n)$$c_2 k \log(n)$$o \left( \frac{n}{\log(n) \log(\log(n))} \right)$$f(k) = o(k)$$k$$k$$n^{f(k)}$$c$$k$$k$$n^c$ thời gian, sau đó P không chứa bất kỳ lớp phức tạp không gian nào lớn hơn NL.