Vấn đề quyết định vs chức năng

8

Lý thuyết phức tạp dường như được xây dựng xung quanh các vấn đề quyết định hơn là các chức năng.

Ai giới thiệu cái này đầu tiên và lý do cho sự lựa chọn này là gì?

Ví dụ, giấy "Con đường, cây và hoa" của Edmonds thường được ghi nhận là nguồn gốc của khái niệm đại diện cho tập hợp các vấn đề "có thể điều khiển được" và đây là con đường mà chúng tôi đã thực hiện. $\mathsf{PTime}$

cc.complexity-theory reference-request

— Thinniyam Srinivasan Ramanatha
nguồn

7

Một lý do khác là điều này thường không mất tính tổng quát, vì thường xuyên (mặc dù không phải lúc nào - xem bên dưới) sự phức tạp của các chức năng và các vấn đề quyết định là tương đương. Mọi vấn đề quyết định có thể được xem như là một hàm có giá trị duy nhất là 0 và 1. Ngược lại, với hàm , có một số vấn đề quyết định liên quan thường có cùng độ phức tạp như , ví dụ: $f$ $f$

các chút -thứ của là 1 . $\{(x,i) :$ $i$ $f(x)$ $\}$
(hoặc ) $\{(x,k) : f(x) \leq k\}$ $\geq$

Dưới đây là một ví dụ về độ phức tạp của các lớp chức năng và các lớp ngôn ngữ liên quan của chúng dường như khác nhau: [Wagner 1987 "Log Query Classes",luận án 1987 của Hemaspaandra,Buss & Hay 1991], nhưng nếu thìvà[ $\mathsf{P}^{\mathsf{NP}[\log ]} = \mathsf{P}^{\mathsf{NP}}_{tt}$ $\mathsf{FP}^{\mathsf{NP}[\log ]} = \mathsf{FP}^{\mathsf{NP}}_{tt}$ $\mathsf{NP} = \mathsf{RP}$ $\mathsf{P} = \mathsf{UP}$ Selman 1994 ].

(Ở đây, oracle có nghĩa là máy sẽ thực hiện $^{\mathsf{NP}[\log]}$ các truy vấn cho bất kỳ vấn đề nào trong (giả sử SAT). Ký hiệu có nghĩa là với mộttiên tri , nhưng trong mà các truy vấn ororykhông thích ứng: trên đầu vào , nếu làchuỗi thứ truy vấn cho nhà tiên tri, thì $O(\log n)$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{P}^{\mathsf{NP}}_{tt}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{NP}$ $x$ $y_i$ $i$ $y_i$ không phụ thuộc vào câu trả lời cho bất kỳ cuộc gọi tiên tri nào trước đó. Tương tự, trên đầu vào máy xây dựng một danh sách mà không yêu cầu oracle, truy vấn oracle về tất cả các và nhận được câu trả lời, sau đó tiến hành tính toán mà không yêu cầu oracle một lần nữa.) $x$ $y_1, \dotsc, y_m$ $y_i$

— Joshua Grochow
nguồn

5

Lý thuyết phức tạp xây dựng lý thuyết tính toán và công thức điển hình của các vấn đề trong lý thuyết tính toán là các vấn đề quyết định, xuất phát tự nhiên từ việc đặt chúng thành các câu hỏi về việc đặt thành viên.

Nguồn gốc của lý thuyết tính toán có thể quay trở lại, nhưng nếu bạn muốn ví dụ mạnh mẽ đầu tiên về Vấn đề Quyết định, thì Entscheidungsprobols của Hilbert là ví dụ của bạn - đó là tiếng Đức cho "Vấn đề Quyết định".

— Luke Mathieson
nguồn

4

Chỉ là một phần của câu chuyện:

Bài báo năm 1963 của Hartmanis và Stearns, "Về độ phức tạp tính toán của thuật toán" đã đưa ra các định nghĩa về độ phức tạp thời gian và không gian định lượng trên mô hình máy Turing đa nhiệm và cho thấy rằng thời gian / không gian nhiều hơn, TM có thể tính toán được nhiều thứ hơn.

... Độ phức tạp tính toán của một chuỗi sẽ được đo bằng tốc độ của một máy Turing đa nhiệm có thể in ra các điều khoản của chuỗi. ...

Trong đó "trình tự" là một chuỗi chung. Sau đó, khi xác định trình tự tính toán T , họ hạn chế sự chú ý đến các chuỗi nhị phân:

... Để đơn giản, chúng ta sẽ nói về các chuỗi nhị phân, khái quát hóa là rõ ràng. Chúng tôi sử dụng ký hiệu... Lớp cácchuỗi nhị phântính toán Tsẽ được ký hiệu là bu và chúng ta sẽ gọi là mộthàm thời gian. sẽ được gọi là một lớp phức tạp. $\alpha = a_1 a_2 ...$

$S_T$ $T(n)$ $S_T$

Và sau đó trong Hệ quả 2.8:

... Do đó, khi xem xét các hàm thời gian lớn hơn hoặc bằng , tốc độ hoạt động tăng nhẹ nhất sẽ xóa sạch sự khác biệt giữa các máy đầu ra nhị phân và không nhị phân. $n$

Với một liên kết ngược với công việc của Hilbert và Church / Turing về vấn đề tạm dừng:

$T$ $\alpha$ $S_T$

— Marzio De Biasi
nguồn