Có một lời giải thích cho những khó khăn trong việc chứng minh giới hạn bậc hai cho các vấn đề NP thú vị không?

Đây là phần tiếp theo câu hỏi trước đây của tôi:

Độ phức tạp thời gian xác định được biết đến thấp nhất ràng buộc cho một vấn đề tự nhiên trong NP

Tôi thấy hoang mang rằng chúng tôi không thể chứng minh bất kỳ thời gian xác định bậc hai nào bị ràng buộc thấp hơn đối với bất kỳ vấn đề NP thú vị nào mà mọi người quan tâm và cố gắng thiết kế các thuật toán tốt hơn. Giả thuyết về thời gian theo hàm mũ của chúng tôi cho rằng SAT không thể được giải quyết trong thời gian xác định phụ, nhưng chúng tôi thậm chí không thể chứng minh SAT (hoặc bất kỳ vấn đề NP thú vị nào khác) đòi hỏi thời gian bậc hai!

Tôi biết thú vị là hơi chủ quan và mơ hồ. Tôi không có một định nghĩa. Nhưng hãy để tôi thử mô tả những gì tôi coi là một vấn đề thú vị: tôi đang nói về những vấn đề mà hơn một vài người thấy thú vị. Tôi không nói về các vấn đề biệt lập chủ yếu được thiết kế để trả lời một số câu hỏi lý thuyết. Nếu mọi người không cố gắng tìm các thuật toán nhanh hơn cho một vấn đề thì đó là một dấu hiệu cho thấy vấn đề đó không thú vị. Nếu bạn muốn có những ví dụ cụ thể về các vấn đề thú vị, hãy xem xét các vấn đề trong bài viết năm 1972 của Karp hoặc ở Garey và Johnson 1979 (hầu hết trong số đó).

Có lời giải thích nào cho lý do tại sao chúng tôi không thể chứng minh bất kỳ thời gian xác định bậc hai nào bị ràng buộc thấp hơn cho bất kỳ vấn đề NP thú vị nào không?

— Vô danh
nguồn

Vì giới hạn dưới có khó không? Những loại giải thích sẽ làm bạn hài lòng?

— Jeffε

@ Jɛ ﬀ E làm thế nào về những giải thích không cần thiết mà có nhiều thông tin và sâu sắc? Trực giác hoặc kết quả giải thích lý do tại sao chúng ta bị mắc kẹt ở nơi chúng ta đang chứng minh giới hạn dưới. Vì tuyên bố của chúng tôi mạnh hơn nhiều so với kết quả của chúng tôi, tôi chắc chắn các chuyên gia khác đã nghĩ về lý do tại sao sau nhiều thập kỷ cố gắng, chúng tôi không thể có được một bậc hai bị ràng buộc thấp hơn trong một vấn đề NP thú vị.

— Ẩn danh

Đây là một lời giải thích từ blog của Lipton; Mồi và công tắc: Tại sao giới hạn dưới quá khó? rjlipton.wordpress.com/2009/02/12/ cường

— Mohammad Al-Turkistany

@ MohammadAl-Turkistany: Tôi nghĩ rằng cái nhìn sâu sắc của Rudich, như trên blog của Lipton, có thể là một câu trả lời, không chỉ là một nhận xét. Đặc biệt là đối số này, không giống như một số khác, áp dụng tốt như nhau đối với giới hạn dưới đối với giới hạn siêu đa thức.

n^{2}

$n^2$

— Joshua Grochow

Câu hỏi về giới hạn thời gian bậc hai có liên quan khi bạn giới hạn các thuật toán có rất ít không gian (ví dụ: polylog) hoặc khi bạn nhìn vào các máy Turing một băng (có quyền truy cập rất hạn chế vào bộ nhớ). Nhưng khi bộ nhớ không bị hạn chế và truy cập bộ nhớ không bị hạn chế, câu hỏi "thực" là liệu có giới hạn thời gian siêu tuyến tính cho các vấn đề NP thú vị hay không, trong bất kỳ mô hình tính toán truy cập ngẫu nhiên nào. (Grandjean đã chứng minh một số giới hạn siêu tuyến tính cho máy Turing đa nhiệm, nhưng chúng dựa trên cấu trúc của băng một chiều.)

— Ryan Williams

Câu trả lời:

Dưới đây là lời giải thích từ blog của Lipton: Mồi và Switch: Tại sao giới hạn dưới quá khó?

Như Grochow đã quan sát, cái nhìn sâu sắc của Rudich cũng áp dụng tương tự cho giới hạn dưới đối với giới hạn siêu đa thức. $n^2$

Cái nhìn sâu sắc của Rudich giải thích tại sao mọi bằng chứng ràng buộc thấp hơn rằng nó dựa trên phương pháp sau đây không thể hoạt động.

"bất kỳ tính toán nào tính toán đều phải tiến triển chậm về phía . Mỗi bước tính toán chỉ có thể giúp bạn tiến gần hơn một chút đến mục tiêu cuối cùng, do đó việc tính toán sẽ mất nhiều bước." $f$ $f$

Về cơ bản, không có thước đo tiến bộ nào có thể sống sót qua trò lừa Mồi và Chuyển đổi của Rudich và thành công dẫn đến giới hạn thấp hơn.

— Mohammad Al-Turkistany
nguồn

Bạn có thể tìm thấy một cái nhìn khác về lập luận "mồi và chuyển đổi" trong chương chứng minh tự nhiên của Arora-Barak. Họ sử dụng cùng một đối số để lập luận rằng một đối số ràng buộc thấp hơn theo kiểu "độ phức tạp chính thức" phải áp dụng cho các hàm ngẫu nhiên có xác suất cao. Nhưng nếu một biện pháp phức tạp chính thức

gán độ phức tạp cao cho một hàm ngẫu nhiên
không gán độ phức tạp cao cho một chức năng dễ dàng
có thể dễ dàng tính toán từ bảng chân lý của hàm

sau đó nó có thể được sử dụng để phá vỡ các trình tạo giả ngẫu nhiên. Đây là những gì rào cản bằng chứng tự nhiên, không chính thức. Chúng tôi lập luận rằng 1. rất hợp lý đối với nhiều cách tiếp cận giới hạn dưới, không có 2. biện pháp phức tạp dường như vô dụng và 3. dựa trên quan sát rằng chúng tôi đã có thể biến hầu hết các bằng chứng tồn tại kết hợp thành thuật toán hiệu quả và trực giác rằng một bằng chứng không mang tính xây dựng là một bằng chứng khó có thể đưa ra.

Bạn có thể làm cho cụ thể hơn ở trên bằng cách đưa ra các trình tạo giả ngẫu nhiên rất hiệu quả. Nếu một hàm có thể được tính bên trong độ phức tạp trông giống giả ngẫu nhiên với các hàm từ một lớp , thì một phép đo có thể tính toán được trong sẽ bị tiêu diệt đối với . $C$ $C'$ $C'$ $C$

— Sasho Nikolov
nguồn