Xấp xỉ thứ hạng dấu hiệu của ma trận

Thứ hạng dấu hiệu của ma trận A có + 1, -1 mục nhập là thứ hạng ít nhất (trên thực tế) của ma trận B có cùng mẫu dấu với A (nghĩa là cho tất cả i , j ). Khái niệm này rất quan trọng trong sự phức tạp trong giao tiếp và lý thuyết học tập.$A_{ij}B_{ij}>0$$i,j$

Câu hỏi của tôi là: Có bất kỳ thuật toán đã biết (thời gian phụ) nào gần đúng với thứ hạng ký hiệu của ma trận trong phạm vi một yếu tố không?$o(n)$

(Tôi biết của Forster ràng buộc về cấp bậc dấu hiệu về mức phổ thấp hơn, nhưng điều này không mang lại một tỷ lệ xấp xỉ tốt hơn so với nói chung.)$\Omega(n)$

Tôi tin rằng đây là một câu hỏi mở.

Lee và Schraibman trong "Một thuật toán gần đúng cho thứ hạng gần đúng" cho thấy thứ hạng gần đúng có thể được xấp xỉ với một yếu tố không đổi bằng thuật toán thời gian đa thức. Để làm như vậy, chúng liên quan đến số lượng lập trình bán chính xác với thứ hạng gần đúng, trong đó α là một tham số hữu hạn lớn hơn 1. Đưa α đến giới hạn vô cực mang lại thứ hạng ký hiệu nhưng kết quả của chúng không cho bất cứ điều gì trong điều này cài đặt.$\gamma_2^\alpha$$\alpha$$\alpha$

$O(n/\log n)$$d$$S$

• $M$$S$$\mathrm{rank}\ M = O(n^{1-1/d})$
• $S$$d$

$M$$O(n^{1-1/d}/d)$$d = \Theta(\log n)$