Lịch sử và trạng thái của vấn đề khớp đồ thị

11

Một phần của khó khăn trong việc tìm hiểu thêm về vấn đề này là vấn đề khớp đồ thị khác với người anh em nổi tiếng hơn nhiều của nó, vấn đề khớp, nhưng khó phân biệt với nó khi sử dụng các công cụ tìm kiếm.

Cho hai đồ thị và sao cho, nhiệm vụ là tìm một bijection sao cho bijection này thiết lập càng nhiều tương ứng giữa các cạnh của và càng tốt. $G=(V,E)$ $G'=(V',E')$ $|V| = |V'|$ $\pi : V \rightarrow V'$ $G$ $G'$

Nói cách khác, nếu và là ma trận điều chỉnh, thì chúng tôi muốn tối đa hóa $M$ $M'$

$\sum_{v,w \in V} M_{v,w} \cdot M'_{\pi(v),\pi(w)}$

Vấn đề này rõ ràng có sự đồng hình hóa đồ thị như là một trường hợp đặc biệt và có thể được giảm xuống thành khớp lưỡng cực dưới sự giảm (không đa thức!).

Những loại thuật toán nào tồn tại, và những gì được biết về độ phức tạp của nó?

reference-request graph-theory graph-isomorphism

— shuhalo
nguồn

8

Từ bài viết Đồ thị gần đúng biểu đồ :

Chúng tôi nghiên cứu các phiên bản tối ưu hóa của đồ thị đẳng hình. Đưa ra hai biểu đồ , chúng tôi quan tâm đến việc tìm một mệnh đề từ đến để tối đa hóa số lượng khớp (các cạnh được ánh xạ tới các cạnh hoặc không có cạnh được ánh xạ tới các cạnh không). Chúng tôi đưa ra sơ đồ xấp xỉ thời gian cho bất kỳ yếu tố không đổi , sẽ tính toán một xấp xỉ . Chúng tôi chứng minh điều này bằng cách kết hợp $G_1,G_2$ $π$ $V(G_1)$ $V(G_2)$ $n^{O(\log{n})}$ $α < 1$ $α$ $n^{O(\log{n})}$ thuật toán xấp xỉ lỗi phụ gia thời gian của Arora et al. [Môn Toán. Chương trình., 92, 2002] với thuật toán lấy trung bình đơn giản. Chúng tôi cũng xem xét vấn đề tối thiểu hóa tương ứng (của sự không phù hợp) và chứng minh rằng đó là NP-hard to -approximate cho bất kỳ yếu tố không đổi . Hơn nữa, chúng tôi cho thấy rằng NP cũng khó có thể ước tính số lượng cạnh tối đa được ánh xạ tới các cạnh vượt quá hệ số 0,94. $α$ $α$

— Austin Hội trưởng
nguồn

6

Tôi không có ý tưởng về vấn đề của bạn. Nhưng tôi tình cờ biết được một bộ sưu tập lớn (est) liên quan đến thuật toán Kết hợp đồ thị với PDFS . Vỗ tay cho Seth Pettie!

— Yixin Cao
nguồn

1

đó là một bộ sưu tập tuyệt vời Cảm ơn đã chỉ ra điều đó !

— Suresh Venkat

Bộ sưu tập này không đề cập đến vấn đề mà tôi đã mô tả.

— shuhalo

4

Bài báo mà @Austin Buchanan đã chỉ ra ở trên về biểu đồ đồ thị gần đúng có vẻ không tương ứng với phiên bản được hỏi. Tôi giả sử rằng ma trận kề có mục trong trường hợp mục tiêu chỉ đo các cạnh khớp. Mô hình đồ thị đẳng hình gần đúng đo cả hai cạnh khớp nhau, điều này làm cho nó dễ dàng hơn một chút từ quan điểm gần đúng. $0,1$

Có vẻ như vấn đề được hỏi ít nhất là vấn đề -dense-subgraph hiện chỉ chấp nhận một phép tính gần đúng đa thức. Xem http://arxiv.org/abs/1001.2891 và http://arxiv.org/abs/1110.1360 để biết thêm chi tiết và trạng thái hiện tại về thuật toán và độ cứng. $k$

Bây giờ cho giảm. Giả sử chúng ta muốn giải bài toán -dense-subgraph trong đồ thị ; đó là chúng ta muốn tìm một tập hợp con của nút để tối đa hóa số cạnh trong đồ thị cảm ứng . Bạn có thể giảm này cho vấn đề của bạn bằng cách thiết lập là một đồ thị bao gồm một bè lũ trên -vertices và đỉnh cô lập, và được thiết lập để được . $k$ $H$ $k$ $S$ $G[S]$ $G$ $k$ $n-k$ $G'$ $H$

— Chandra Chekuri
nguồn