Mạch giới hạn trên các bộ cổng tùy ý

Vào những năm 1980, Razborov nổi tiếng đã chỉ ra rằng có các hàm Boolean đơn điệu rõ ràng (như hàm CLIQUE) yêu cầu nhiều cổng AND và OR theo cấp số nhân để tính toán. Tuy nhiên, cơ sở {AND, OR} trên miền Boolean {0,1} chỉ là một ví dụ về một bộ cổng thú vị không còn phổ biến. Điều này dẫn đến câu hỏi của tôi:

Có bất kỳ bộ cổng nào khác, thú vị khác với các cổng đơn điệu, trong đó các giới hạn thấp hơn theo cấp số nhân về kích thước mạch được biết (không có độ sâu hoặc các hạn chế khác đối với mạch)? Nếu không, có bất kỳ bộ cổng nào khác là ứng cử viên hợp lý cho các giới hạn thấp hơn như vậy --- các giới hạn không nhất thiết phải vượt qua hàng rào Bằng chứng Tự nhiên, vì kết quả mạch đơn điệu của Razborov không?

Nếu một bộ cổng như vậy tồn tại, thì chắc chắn nó sẽ vượt qua bảng chữ cái k-ary cho k≥3. Lý do là, trên một bảng chữ cái nhị phân,

(1) cổng đơn điệu ({VÀ, OR}),

(2) cổng tuyến tính ({KHÔNG, XOR}) và

(3) cổng phổ quát ({VÀ, HOẶC, KHÔNG})

về cơ bản cạn kiệt các khả năng thú vị, như sau từ định lý phân loại của Post. (Lưu ý rằng tôi giả sử rằng các hằng số --- 0 và 1 trong trường hợp nhị phân --- luôn có sẵn miễn phí.) Với các cổng tuyến tính, mọi hàm Boolean f: {0,1} ⁿ → {0,1} đó là tính toán ở tất cả là tính toán bởi một mạch kích thước tuyến tính; với một bộ phổ quát, tất nhiên chúng ta đang chống lại Bằng chứng tự nhiên và các rào cản đáng sợ khác.

Mặt khác, nếu chúng ta xem xét các bộ cổng trên bảng chữ cái 3 hoặc 4 ký tự (ví dụ), thì một bộ khả năng rộng hơn sẽ mở ra --- và ít nhất là theo hiểu biết của tôi, những khả năng đó chưa bao giờ được vạch ra hoàn toàn từ quan điểm của lý thuyết phức tạp (xin vui lòng sửa cho tôi nếu tôi sai). Tôi biết rằng các bộ cổng có thể được nghiên cứu rộng rãi dưới tên "bản sao" trong đại số phổ quát; Tôi ước tôi có thể trò chuyện nhiều hơn với tài liệu đó để tôi biết nếu kết quả từ khu vực đó có ý nghĩa gì đối với sự phức tạp của mạch.

Trong mọi trường hợp, dường như không có câu hỏi nào về việc có những giới hạn kịch tính khác đã chín muồi để chứng minh, nếu chúng ta chỉ đơn giản mở rộng lớp cổng đặt trên bảng chữ cái hữu hạn mà chúng ta sẵn sàng xem xét. Nếu tôi sai, xin vui lòng cho tôi biết tại sao!

(Chuyển từ nhận xét như Suresh đề xuất. Lưu ý một số lỗi trong nhận xét được sửa ở đây.)

Cảm ơn Scott cho một câu hỏi tuyệt vời.

Scott dường như gợi ý rằng lý do cho sự khó khăn của giới hạn dưới có thể là ngôn ngữ hoạt động bị hạn chế trong trường hợp Boolean. Đối số đếm của Shannon cho thấy hầu hết các mạch phải lớn dựa vào khoảng cách giữa sức mạnh biểu cảm có thể đếm được và nhiều mạch không thể đếm được. Khoảng cách này dường như biến mất khi bảng chữ cái có ít nhất 3 ký hiệu.

Đối với kích thước bảng chữ cái 2 (trường hợp Boolean), mạng phân thân là vô hạn và được gọi là mạng tinh thể của Post .

Mạng của Post cũng làm rõ lý do tại sao chỉ có một vài cơ sở hoạt động thú vị cho trường hợp Boolean.

Đối với kích thước bảng chữ cái 3 hoặc lớn hơn, mạng của bản sao là không thể đếm được. Hơn nữa, mạng tinh thể không thỏa mãn bất kỳ bản sắc mạng không cần thiết nào, vì vậy dường như không thể cung cấp một mô tả đầy đủ về mạng tinh thể. Đối với kích thước bảng chữ cái 4 hoặc lớn hơn, mạng tinh thể thực sự chứa mọi mạng tinh thể như một mạng con. Vì vậy, có vô số cơ sở hoạt động có thể thú vị để xem xét khi bảng chữ cái có 3 biểu tượng trở lên.

• Bulatov, Andrei A., Các điều kiện được thỏa mãn bởi các mạng nhân bản , Đại số Universalis 46 237 Phản241, 2001. doi: 10.1007 / PL00000340

Scott hỏi thêm: mạng tinh thể vẫn không thể đếm được nếu chúng ta cho rằng hằng số có sẵn miễn phí?

Câu trả lời là có, xem ví dụ

• Gradimir Vojvodić, Jovanka Pantović và Ratko Tošić, Số lượng bản sao có chứa một hàm unary , NSJOM 27 83 Biệt87 , 1997. ( PDF )
• J. Pantović, R. Tosic, và G. Vojvodić, Các cardinality của đại số chức năng hoàn chỉnh trên một bộ ba yếu tố , Đại số Universalis 38 136-140, 1997. doi: 10,1007 / s000120050042

mặc dù rõ ràng điều này đã được công bố trước đó:

• Ágoston, I., Demetrovics, J. và Hannák, L. Về số lượng bản sao có chứa tất cả các hằng số , Coll. Môn Toán. Sóc. János Bolyai 43 21 201525, 1983.

Một tuyên bố cụ thể tốt đẹp là từ:

• A. Bulatov, A. Krokhin, K. Safin và E. Sukhanov, Về cấu trúc của các mạng nhân bản , Trong: "Đại số chung và Toán học rời rạc", các biên tập viên: K. Denecke và O. Lueders, 27 Thay34. Heldermann Verlag, Berlin, 1995. ( PS )

Hệ quả 3 (quy cho Ágoston và cộng sự như trên): Đặt . Sau đó, số lượng bản sao trong chứa tất cả các hằng số là .$k \ge 3$$\mathcal{L}_k$$2^{\aleph_0}$

Để kết thúc, tôi không biết về bất kỳ công việc nào về việc sử dụng các bản sao không phải Boolean cho các giới hạn dưới của mạch. Điều này có vẻ đáng để điều tra sâu hơn. Với số lượng tương đối ít được biết về mạng tinh thể, có thể có những cơ sở hoạt động thú vị đang chờ được khám phá.

Nhiều liên kết hơn giữa lý thuyết nhân bản và khoa học máy tính có lẽ cũng sẽ được các nhà toán học làm việc trong đại số phổ quát quan tâm. Một ví dụ trước đây về loại tương tác này xuất hiện khi Peter Jeavons chỉ ra rằng đại số có thể được liên kết với các ngôn ngữ ràng buộc, theo cách cho phép các kết quả khả năng chuyển đổi được chuyển thành các thuộc tính của đại số. Andrei Bulatov đã sử dụng điều này để chứng minh sự phân đôi cho CSP với kích thước miền 3. Đi theo một cách khác, đã có một sự hồi sinh quan tâm đến lý thuyết đồng hóa thuần hóa do ứng dụng khoa học máy tính. Tôi tự hỏi điều gì sẽ xảy ra từ một liên kết giữa lý thuyết nhân bản và độ phức tạp của mạch không Boolean.

Điều này được chuyển từ ý kiến, như Suresh đề xuất.

Nếu bạn xem xét các hàm , thì tình huống có liên quan nhiều hơn đến các cổng tuyến tính, bởi vì đối số đếm cho thấy có các hàm yêu cầu cổng được tính toán, mặc dù không có ví dụ rõ ràng về hàm yêu cầu các mạch có kích thước siêu tuyến. Ω ( n $f:{0,1}^n \rightarrow {0,1}^n$$\Omega(\frac{n^2}{\log(n)})$

Chỉnh sửa. Ngoài ra, có thể hiển thị bằng cách sử dụng đối số đếm rằng hầu hết các hàm có độ phức tạp lớn hơn cho một số hằng số , vì vậy nếu bạn chỉ chọn ngẫu nhiên một hàm, bạn sẽ nhận được một hàm phức tạp với xác suất cao.$\frac{n^2}{\log(n) * c}$$c$

Mặt khác, như các điểm Scott Aaronson trong các ý kiến, nó không phải là khó khăn để đến với các ứng cử viên cho rằng biến đổi tuyến tính nên yêu cầu XOR (Fourier Transform, các "Sierpinski Gasket" ma trận ... ) và Bram Cohen đã đề xuất một hàm ví dụ cần có các cổng XOR .Ω ( n 3 / 2$\Omega(n log n)$$\Omega(n^{3/2})$

Chỉnh sửa 2. Trở ngại chính là chúng tôi không có bất kỳ phương pháp nào để chứng minh các giới hạn dưới phi tuyến tính ngay cả đối với các cổng tuyến tính, theo như tôi biết (đối với các giới hạn tuyến tính thấp hơn, người ta có thể sử dụng loại bỏ cổng, rất khó có thể đưa ra giới hạn tuyến tính). Mặc dù có vẻ như một số phương pháp từ đại số tuyến tính thực sự phải hữu ích. Vì vậy, đến với các ứng cử viên là tốt, nhưng dù sao một số phương pháp mới là cần thiết.

1. Trên thực tế, đã có những nỗ lực chứng minh giới hạn thấp hơn cho các mạch hoạt động trên các miền lớn hơn . Nói, Tkachov [Vestnik của Đại học Moscow, Nr. 1, 1977, bằng tiếng Nga] đã xem xét các mạch làm việc với các vectơ đầu vào trong . Khi cổng anh cho phép và . Ông đã xem xét hàm sau: nếu chứa hoặc số 's trong ít nhất là số ' s. Ông cho thấy rằng bất kỳ mạch nào (trên MIN / XOR) đó đều cần khoảng cổng để tính$\{0,1\}$$a$$Z_3^n=\{0,1,2\}^n$$\min(x,y)$$xy\mod{2}$$f(a)=0$$a$$0$$2$$a$$1$$2^n/\sqrt{n}$$f$. Nhưng đó là! Tôi không nhận thấy bất kỳ kết quả nào nữa trong một lợi ích tương tự (đi đến các miền lớn hơn, nhưng vẫn hữu hạn), ngoại trừ, tất nhiên, các công cụ của các mạch số học. Nhưng chỉ đối với các mạch - cho chương trình phân nhánh đi đến các miền lớn hơn làm cho nhiệm vụ của giới hạn thấp hơn có phần dễ dàng hơn.

2. Trên các mạch có cổng XOR. Ở đây ngay cả trường hợp độ sâu được mở rộng rãi. Giới hạn dưới cao nhất cho các phép biến đổi tuyến tính rõ ràng trên có dạng . Để chứng minh một ràng buộc như cho hằng số , ngay cả ở độ sâu và ngay cả khi chỉ cho phép các cổng XOR, là một thách thức.$2$$y=Ax$$GF(2)$$n\log^{3/2}n$$n^{1+c}$$c>0$$2$