Liệu các

Chúng ta có biết rằng hệ thống phân cấp không sụp đổ ( cho tất cả ) không? $\mathsf{TC^0}$ $\mathsf{TC^0_d} \subsetneq \mathsf{TC^0_{d+1}}$ $d$

Mục Zoo cho $\mathsf{TC^0}$ chỉ đề cập đến sự tách biệt giữa độ sâu 2 và 3.

Ngoài ra có một tài liệu tham khảo tiêu chuẩn cho thực tế rằng hệ thống phân cấp không sụp đổ? $\mathsf{AC^0_d}$

— Kaveh
nguồn

Một câu hỏi liên quan sẽ là, có bao nhiêu chức năng riêng biệt trong / ? Một ràng buộc thấp hơn hợp lý về số lượng này sẽ trả lời câu hỏi của bạn. Ngoài ra, một bằng chứng về sự chặt chẽ đối với bổ đề chuyển đổi của Hastad có lẽ sẽ trả lời câu hỏi thứ hai của bạn.

A C_{d}^{0}

$AC_d^0$

T C_{d}^{0}

$TC_d^0$

— MCH

Đối với câu hỏi thứ hai, tôi tin rằng nó đã được chứng minh lần đầu tiên trong bài viết "Bộ Borel và độ phức tạp mạch" của Sipser's STOC . Điều này chỉ cung cấp giới hạn siêu đa thức mặc dù. Giới hạn dưới theo cấp số nhân đầu tiên được đưa ra bởi Yao, sau đó được cải thiện bởi Håstad.

— Robin Kothari

@MCH, ý bạn là viết ? Hay bạn có nghĩa là số lượng các vấn đề tương đương trong các phép giảm wrt ?

T C_{d}^{0} / A C_{d}^{0}

$\mathsf{TC^0_d}/\mathsf{AC^0_d}$

T C_{d}^{0}

$\mathsf{TC^0_d}$

A C_{d}^{0}

$\mathsf{AC^0_d}$

— Kaveh

Ý tôi là rất đơn giản: Lớp có kích thước thể biểu diễn bao nhiêu hàm? (Chúng ta có thể ước tính số lượng mạch rất dễ dàng nhưng chúng ta nên cẩn thận rằng một số trong số chúng có thể tính toán cùng chức năng.) Một khi bạn cho thấy số lượng này tăng lên với , bạn đã hoàn thành.

A C_{d}^{0}

$AC_d^0$

s

$s$

d

$d$

— MCH

@Dilworth, nonuniform. Đếm dường như không hoạt động, nếu không như tôi đã lưu ý bên dưới, sau đó chúng ta có thể tách khỏi đang mở.

T C^{0}

$\mathsf{TC^0}$

N C^{1}

$\mathsf{NC^1}$

— Kaveh

Câu trả lời:

Chúng tôi biết rằng không có giới hạn dưới tốt (có nghĩa là, giới hạn dưới đa cực cho một ngôn ngữ trong ) cho các mạch ngưỡng 2 độ sâu (trọng số không giới hạn). Độ sâu 3 mạch được xây dựng từ các cổng đa số, tức là chứa lớp này và do đó chúng tôi cũng không biết giới hạn nào tốt hơn cho lớp này. $\mathsf{NEXP}$ $\mathsf{TC}^0_3$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen
nguồn

Điều này trả lời câu hỏi của tôi. Cảm ơn bạn.

— Kaveh

Như tôi đã viết trong những nhận xét trên, ngay cả khi một vấn đề trong NEXP không biết là bên ngoài TC

, không phải là nó vẫn có thể là không đồng nhất TC

hệ thống phân cấp là phù hợp thông qua một đối số đếm thấp hơn bị ràng buộc?

_{2}^{0}

$^0_2$

^{0}

$^0$

— Dilworth

Ngoài ra, tôi có thể hỏi, làm thế nào điều này phù hợp với giới hạn dưới theo cấp số nhân đã biết trên TC

và sự phân tách độ sâu 3 từ các mạch ngưỡng sâu 2, như được báo cáo trong sở thú phức tạp? Tui bỏ lỡ điều gì vậy?

_{2}^{0}

$_2^0$

— Dilworth

@Dilworth, tôi nghĩ đó là bởi vì nó được xác định bằng cách sử dụng Đa số chứ không phải Ngưỡng.

— Kaveh

Hmm .. ý bạn là gì? Điều này có liên quan đến ghi chú của Kristoffer về "trọng lượng không giới hạn" không?

— Dilworth

Nếu tôi không phạm sai lầm, có vẻ như việc chứng minh rằng hệ thống phân cấp không sụp đổ ít nhất là khó khăn như tách khỏi : $\mathsf{TC^0_d}$ $\mathsf{NC^1}$ $\mathsf{TC^0}$

Hãy biểu thị Formula vấn đề đánh giá Boolean bởi . hoàn thành cho theo mức giảm . $BFE$ $BFE$ $\mathsf{NC^1}$ $\mathsf{AC^0}$

Bởi Manindra Agrawal, Eric Allender và Steven Rudich, "Các mức giảm trong độ phức tạp mạch: Định lý đẳng cấu và định lý khoảng cách ", 1999, hoàn thành cho theo các mức giảm . $BFE$ $\mathsf{NC^1}$ $\mathsf{AC^0_2}$

Giả sử . Sau đó, đối với một số . Do đó . Có nghĩa là . $\mathsf{NC^1}=\mathsf{TC^0}$ $BFE \in \mathsf{TC^0_d}$ $d$ $\mathsf{NC^1} \subseteq \mathsf{TC^0_{d+2}}$ $\mathsf{TC^0} \subseteq \mathsf{TC^0_{d+2}}$

Vì vậy, đối với tất cả các chúng ta có $d$

ngụ ý và . $\mathsf{TC^0} \not\subseteq \mathsf{TC^0_d}$ $\mathsf{NC^1} \not\subseteq \mathsf{TC^0_{d+2}}$ $BFE \notin \mathsf{TC^0_d}$

— Kaveh
nguồn