Mở rộng cho vấn đề hôn nhân ổn định?

Điều này nghe có vẻ giống như một câu hỏi khoa học xã hội hơn là một câu hỏi TCS, nhưng thực tế không phải vậy. Khi đọc " Thuật toán ngẫu nhiên " mô tả vấn đề hôn nhân ổn định, người ta có thể đọc phần sau (tr54)

"Có thể chỉ ra rằng đối với mọi lựa chọn danh sách ưu tiên đều tồn tại ít nhất một cuộc hôn nhân ổn định. (Thật kỳ lạ, đây không phải là trường hợp trong một xã hội một vợ một chồng đồng tính với số lượng cư dân chẵn) ...."

Có bất kỳ phần mở rộng rất đơn giản nào của Vấn đề hôn nhân ổn định cho phép một số loại trạng thái ổn định bao gồm một xã hội một vợ một chồng, hoặc một xã hội trong đó một tập hợp con nhất định của dân số tuân theo một bộ quy tắc khác so với tập hợp lớn hơn?

Trong khẳng định, có thuật toán nào thực hiện khớp như vậy không?

Có một phỏng đoán mở về 3 loại người. Giả sử bạn có đàn ông phụ nữ và chó để đàn ông có danh sách ưu tiên về phụ nữ, phụ nữ có danh sách ưu tiên về chó và chó có danh sách ưu tiên về đàn ông. Luôn có một cuộc hôn nhân ổn định?

(Đối với các cấu trúc ưu tiên khác trong xã hội 3 loại, các câu trả lời được biết là phủ định).

Một nhận xét khác là hôn nhân ổn định đại diện cho một lõi không trống rỗng và có một điều kiện nổi tiếng của Khăn ngụ ý sự tồn tại của lõi không trống. Được biết, điều kiện Khăn được thỏa mãn cho vấn đề hôn nhân ổn định ban đầu và cho vấn đề giao nhà. (Nhưng thất bại cho vấn đề đàn ông / phụ nữ / chó).

Một số tài liệu tham khảo:

• $N$
• Một bài báo cho thấy nhiều ứng dụng khác nhau cho bổ đề quan trọng của Khăn và trích dẫn khá nhiều thứ khác: (Đặc biệt, một phiên bản phân số của định lý Gale-Shapley cho siêu dữ liệu của Aharoni và Holzman được mô tả): R. Aharoni và T. Fleiner, On a lemma của Khăn, J. Combin. Lý thuyết Ser. B 87 (2003), 72--80.
• Một giải pháp cho vấn đề nam-nữ-chó khi có nhiều nhất 4 giới tính xuất hiện trong một bài báo của Eriksson et al (Math Soc Sci 2006).

Những gì bạn đang hỏi không còn được gọi là "Vấn đề hôn nhân ổn định". Ngược lại, nó được gọi là "Vấn đề bạn cùng phòng ổn định." Theo Wikipedia :

Trong toán học, đặc biệt là trong các lĩnh vực lý thuyết trò chơi và tổ hợp, vấn đề bạn cùng phòng ổn định (SRP) là vấn đề tìm kiếm sự kết hợp ổn định - một kết hợp trong đó không có cặp phần tử, mỗi phần từ một bộ khớp khác nhau, trong đó mỗi thành viên của cặp đôi thích người kia hơn trận đấu của họ. Điều này khác với vấn đề hôn nhân ổn định ở chỗ vấn đề bạn cùng phòng ổn định không yêu cầu một bộ được chia thành các tập con nam và nữ. Bất kỳ ai cũng có thể thích bất cứ ai trong cùng một bộ.

Nó thường được nêu là:

Trong một ví dụ cụ thể của vấn đề Bạn cùng phòng ổn định (SRP), mỗi người trong số 2n người tham gia xếp hạng những người khác theo thứ tự ưu tiên nghiêm ngặt. Một kết hợp là một tập hợp n cặp người tham gia (không có thứ tự). Một kết hợp M trong trường hợp SRP ổn định nếu không có hai người tham gia x và y, mỗi người thích người kia hơn đối tác của mình ở M. Một cặp như vậy được cho là chặn M hoặc là một cặp chặn đối với M ..

Wikipedia thảo luận về câu trả lời cho câu hỏi của bạn. Nó nói rằng trường hợp ổn định không thể luôn luôn được tìm thấy, tuy nhiên, tồn tại một thuật toán hiệu quả, do Irving (1985), sẽ tìm thấy sự phù hợp như vậy nếu có.

Biên tập:

Một số thư giãn tự nhiên có thể hiểu được đối với SRP: Thay vì yêu cầu rằng "không có hai người tham gia x và y, mỗi người thích người kia hơn đối tác của mình ở M", người ta có thể yêu cầu:

1. Ít nhất một số phần nhất định của mọi người hài lòng với bạn cùng phòng của họ. Ở đây, sự thỏa mãn có thể được giải thích khác nhau. Ví dụ:
   • Một cặp (x, y) được cho là hài lòng nếu y là lựa chọn đầu tiên của x và ngược lại.
   • Một cặp (x, y) được cho là hài lòng nếu một trong hai x hoặc y là lựa chọn đầu tiên của người khác.
   • Một cặp (x, y) được cho là không thỏa mãn nếu tồn tại một cặp (z, w) sao cho x thích z hơn y và z thích x hơn w.
   • ...
2. Hầu hết một số phần nhất định của mọi người không hài lòng với bạn cùng phòng của họ. (Yêu cầu này có thể khác nhau ở trên tùy thuộc vào việc giải thích sự thỏa đáng .)

$n$$m$