Độ phức tạp của hàm số mũ

Chúng ta biết rằng hàm số mũ $\exp(x,y) = x^y$ so với số tự nhiên không thể tính được trong thời gian đa thức, bởi vì kích thước của đầu ra không bị giới hạn về mặt đa thức trong kích thước của các đầu vào.

Đây có phải là lý do chính cho sự khó khăn của việc tính toán hàm số mũ, hoặc là lũy thừa vốn đã khó tính toán, độc lập với việc xem xét này?

Độ phức tạp của đồ thị bit của hàm số mũ là gì?

$$\{\langle x,y,i \rangle \mid x,y,i\in\mathbb{N} \text{ and the $i$-th bit of $x^y$ is $1$} \}$$

Dưới đây là một số giới hạn trên.

Bằng cách lặp lại bình phương, vấn đề là ở PSPACE.

Có một giới hạn trên tốt hơn một chút. Vấn đề là một trường hợp đặc biệt của vấn đề BitSLP: Đưa ra chương trình đường thẳng bắt đầu từ 0 và 1 với phép cộng, phép trừ và phép nhân đại diện cho một số nguyên N và đưa ra i , quyết định xem bit thứ i (tính từ bit có ý nghĩa nhỏ nhất) của biểu diễn nhị phân của N là 1. Vấn đề BitSLP nằm trong hệ thống phân cấp đếm ( CH ) [ABKM09]. (Điều này được nêu trong [ABKM09] rằng có thể chỉ ra rằng vấn đề BitSLP nằm trong PH ^{PP PP PP PP} .)

Tư cách thành viên của CH thường được coi là một bằng chứng cho thấy vấn đề khó xảy ra là khó khăn với PSPACE, bởi vì đẳng thức CH = PSPACE ngụ ý rằng hệ thống phân cấp đếm bị sụp đổ. Tuy nhiên, tôi không biết bằng chứng này được coi là mạnh đến mức nào.

Về độ cứng, BitSLP được hiển thị là # P-hard trong cùng một bài báo [ABKM09]. Tuy nhiên, bằng chứng ở đó dường như không ngụ ý bất kỳ độ cứng nào của ngôn ngữ X trong câu hỏi.

Tài liệu tham khảo

[ABKM09] Eric Allender, Peter Bürgisser, Johan Kjeldgaard-Pedersen và Peter Bro Miltersen. Về sự phức tạp của phân tích số. Tạp chí SIAM về máy tính , 38 (5): 1987 Mạnh2006, tháng 1 năm 2009. http://dx.doi.org/10.1137/070697926

Không phải là một câu trả lời đầy đủ, nhưng ít nhất là một phần.

Tôi nhận thấy rằng hai câu trả lời đã xuất hiện cho đến nay đã không đề cập đến thực tế rằng có một thuật toán để tính mô-đun mũ x y mod  z nơi n là số bit trong z , và nơi ω là số mũ tương ứng với thuật toán nhân nhanh nhất. Vì vậy, các bit ít có ý nghĩa của hàm mũ có thể được tính toán một cách hiệu quả (theo O ( n 3 ) hoặc ít hơn).$O(n^{1+\omega})$$x^y ~\mbox{mod }z$$n$$z$$\omega$$O(n^3)$

Cách thực hiện điều này khá đơn giản: Bạn có thể tính , c 2 = x 2 mod  z , c j = c 2 j - 1 mod  z . Rõ ràng c j = x 2 j mod  z , và do đó x y ≡ pi j c y j j mod  z , nhưng khi chỉ có n về c j này chỉ mất $c_1 = x$$c_2 = x^2 ~\mbox{mod }z$$c_j = c_{j-1}^2 ~\mbox{mod }z$$c_j = x^{2^j}~\mbox{mod }z$$x^y \equiv \prod_j c_j^{y_j}~\mbox{mod }z$$n$$c_j$$n$ phép nhân.

Hơn nữa, chúng ta có thể viết là ( ∑ n i = 0 2 i x i ) y , do đó, các bit quan trọng nhất tương ứng với khoảng 2 n y cũng có thể được tính toán một cách hiệu quả vì chúng chỉ phụ thuộc vào bit có ý nghĩa nhất của x .$x^y$$(\sum_{i=0}^n 2^i x_i)^y$$2^{ny}$$x$

Vì vậy, các điều khoản vấn đề thực sự duy nhất được gây ra bởi các bit về phía trung tâm của .$x^y$

[Câu trả lời này giải thích một số khía cạnh thú vị về câu trả lời của Per Vognsen . Đây không phải là câu trả lời trực tiếp cho câu hỏi của OP, nhưng nó có thể giúp giải quyết những câu hỏi như vậy.]

$i$$\pi$$i-1$

$i$$\pi$$\rm SC$

$\rm SC$, yet such possibility is beyond "practical use."