tìm các phần tử k nhỏ nhất trong mảng trong O (k)

Đây là một câu hỏi thú vị tôi đã tìm thấy trên web. Cho một mảng chứa n số (không có thông tin về chúng), chúng ta nên xử lý trước mảng theo thời gian tuyến tính để có thể trả về k phần tử nhỏ nhất trong thời gian O (k), khi chúng ta được cấp số 1 <= k <= n

Tôi đã thảo luận vấn đề này với một số người bạn nhưng không ai có thể tìm ra giải pháp; Bất kỳ trợ giúp sẽ được đánh giá cao!

ghi chú nhanh: - thứ tự của các phần tử k nhỏ nhất không quan trọng - các phần tử trong mảng là số, có thể là số nguyên và có thể không (vì vậy không có sắp xếp cơ số) - số k không biết trong giai đoạn tiền xử lý. tiền xử lý là thời gian O (n). hàm (tìm k phần tử nhỏ nhất) trên thời gian O (k).

Tiền xử lý mảng giá trị trong thời gian O ( n ) :$n$$O(n)$

• $i\leftarrow n$
• trong khi $i>2$
  • Tính trung vị của A [ 1 .. i ] trong thời gian O ( i $m$$A[1..i]$$O(i)$
  • phân vùng vào A [ 1 .. i / 2 - 1 ] ≤ m và A [ i / 2 + 1 .. i ] ≥ m trong cùng một lúc.$A[1..i]$$A[1..i/2-1] \leq m$$A[i/2+1..i]\geq m$
  • $i \leftarrow \lfloor i/2 \rfloor$

Tổng thời gian tính toán trước là trong $O(1+2+4+...+n)\subseteq O(n)$

Trả lời truy vấn cho phần tử nhỏ nhất trong A trong thời gian O ( k ) :$k$$A$$O(k)$

• $l\leftarrow \lfloor \log_2 k \rfloor$
• chọn thứ nguyên tố x của A [ 2 l . 0,2 l + 1 ] trong thời gian O ( 2 l ) ⊆ O ( k $(k-2^l)$$x$$A[2^l..2^{l+1}]$$O(2^l)\subseteq O(k)$
• phân vùng bởi x cùng một lúc$A[2^l..2^{l+1}]$$x$

chứa k phần tử nhỏ nhất.$A[1..k]$$k$

Người giới thiệu:

• Năm 1999, Dor và Zwick đã đưa ra một thuật toán để tính trung bình của phần tử theo thời gian trong các phép so sánh 2.942 n + o ( n ) , đưa ra thuật toán để chọn phần tử thứ k từ n phần tử không có thứ tự trong ít hơn 6 n so sánh.$n$$2.942 n + o(n)$$k$$n$$6n$

Giả sử cho đơn giản rằng . Sử dụng thuật toán chọn thời gian tuyến tính để tìm các phần tử tại các vị trí 2 m - 1 , 2 m - 2 , 2 m - 3 , Hoài , 1 ; điều này cần thời gian tuyến tính. Với k , tìm t mà 2 t - 1 ≤ k ≤ 2 t ; lưu ý rằng 2 t ≤ 2 k . Lọc ra tất cả các yếu tố xếp hạng tối đa 2 $n = 2^m$$2^{m-1},2^{m-2},2^{m-3},\ldots,1$$k$$t$$2^{t-1} \leq k \leq 2^t$$2^t \leq 2k$$2^t$ và hiện sử dụng thuật toán chọn thời gian tuyến tính để tìm phần tử tại vị trí trong thời gian$k$ .$O(2^t) = O(k)$

Làm rõ: Nó có vẻ rằng tiền xử lý mất nhiều thời gian , và đó thực sự là trường hợp nếu bạn không cẩn thận. Đây là cách thực hiện tiền xử lý trong thời gian tuyến tính:$\Theta(n\log n)$

while n > 0:
  find the (lower) median m of A[0..n-1]
  partition A in-place so that A[n/2-1] = m
  n = n/2

Phân vùng tại chỗ được thực hiện như trong quicksort. Thời gian chạy là tuyến tính trong , và do đó tuyến tính. Cuối cùng, mảng A thỏa mãn tính chất sau: với mỗi k , A [ 0 .. n / 2 k - 1 ] bao gồm các phần tử nhỏ nhất n / 2 k .$n + n/2 + n/4 + \cdots + 1 < 2n$$A$$k$$A[0..n/2^k-1]$$n/2^k$

Đầu tiên sử dụng $O(n)$ để xây dựng một đống nhỏ. Được biết, chúng ta có thể sử dụng $O(k)$ để tìm$k$

Frederickson, Greg N. , Một thuật toán tối ưu để lựa chọn trong một heap , Inf. Tính toán. 104, số 2, 197-214 (1993).ZBL0818.68065 ..

Use linear time selection to find the $k$th largest element, then do a partition step from quicksort using the $k$th largest element as the pivot.