Một trường hợp SAT dễ dàng không dễ giải quyết cây

Có một loại tự nhiên của các công thức CNF - tốt nhất là một công thức đã được nghiên cứu trước đây trong tài liệu - với các thuộc tính sau:$C$

• là một trường hợp dễ dàng của SAT, ví dụ như Horn hoặc 2-CNF, nghĩa là tư cách thành viên trong C có thể được kiểm tra trong thời gian đa thức và các công thức F ∈ C có thể được kiểm tra về sự thỏa mãn trong thời gian đa thức.$C$$C$$F\in C$
• Các công thức không thỏa mãn không được biết là có các phản xạ phân giải giống như cây (kích thước đa thức) ngắn. Thậm chí tốt hơn sẽ là: có các công thức không thỏa mãn trong C mà giới hạn siêu đa thức cho độ phân giải giống như cây được biết đến.$F\in C$$C$
• Mặt khác, các công thức không thỏa mãn trong được biết là có bằng chứng ngắn trong một số hệ thống chứng minh mạnh hơn, ví dụ như ở độ phân giải giống như dag hoặc một số hệ thống thậm chí còn mạnh hơn.$C$

không nên quá thưa thớt, tức là, chứa nhiều công thức với n biến, cho mọi (hoặc ít nhất là đối với hầu hết các giá trị của) n ∈ N . Nó cũng không phải là tầm thường, trong ý nghĩa chứa các công thức thỏa đáng cũng như không thỏa mãn.$C$$n$$n\in \mathbb{N}$

Cách tiếp cận sau đây để giải một công thức CNF tùy ý có ý nghĩa: tìm một phép gán một phần α công thức còn lại F α có trong C , và sau đó áp dụng thuật toán thời gian đa thức cho các công thức trong C đến F α . Do đó, tôi muốn các câu trả lời khác bên cạnh các ràng buộc hoàn toàn khác với câu trả lời hiện được chấp nhận, vì tôi nghĩ rằng rất hiếm khi một công thức tùy ý sẽ trở thành một ràng buộc hoàn toàn khác sau khi áp dụng một hạn chế.$F$$\alpha$$F\alpha$$C$$C$$F\alpha$

Có vẻ như bạn quan tâm đến các ràng buộc hoàn toàn khác nhau (và câu cuối cùng của bạn đang đi đúng hướng). Đây là những trường hợp không tầm thường của nguyên tắc pigeonhole, trong đó số lượng chim bồ câu không nhất thiết phải lớn hơn số lượng lỗ, và ngoài ra một số chim bồ câu có thể bị chặn khỏi một số lỗ.

Tất cả các ràng buộc khác nhau có thể được quyết định bằng cách khớp trong thời gian đa thức bậc thấp.

• Jean-Charles Régin, Một thuật toán lọc cho các ràng buộc về sự khác biệt trong CSP , AAAI 1994, 362 Phóng367.
• DE Knuth và A. Raghunathan, Vấn đề về đại diện tương thích , SIAM J. Toán rời rạc. 5 422 bóng427, 1992. doi: 10.1137 / 0405033

Khi các ràng buộc khác nhau được thể hiện (sử dụng một trong một số mã hóa) làm các trường hợp SAT, thì việc học mệnh đề theo hướng xung đột thường nhanh chóng tìm ra giải pháp nếu nó tồn tại. Tuy nhiên, độ phân giải thuần cho PHP phải xây dựng một tập các mệnh đề cực lớn để cho thấy rằng thể hiện này không thỏa mãn. Điều này ràng buộc rõ ràng cho vấn đề chung hơn này. Mặt khác, nhớ lại rằng mã hóa PHP của Cook cho phép các phép tính độ phân giải mở rộng có kích thước đa thức .

• SA Cook, Một bằng chứng ngắn về nguyên tắc lỗ chim bồ câu sử dụng độ phân giải mở rộng , SIGACT News 8 28 Hóa32, 1976. doi: 10.1145 / 1008335.1008338

Công việc gần đây dọc theo những dòng này là Chương 5 của luận án Sergi Oliva , đã hình thành nên cơ sở của một bài báo với Alberto Atserias tại CCC 2013.

Tôi hy vọng bạn biết về kết quả kinh điển của Cook, vì vậy có lẽ bạn muốn hạn chế sức mạnh của hệ thống bằng chứng trong điều kiện thứ ba của bạn?

Tôi không chắc tại sao người ta cũng yêu cầu các công thức sat nhưng có một số bài viết về sự tách biệt giữa độ phân giải Chung và Cây, ví dụ [1]. Nghe có vẻ như đây là những gì bạn muốn.

[1] Ben-Sasson, Eli, Russell Impagliazzo và Avi Wigderson. "Sự phân tách gần như tối ưu của độ phân giải giống như cây và chung." Kết hợp 24,4 (2004): 585-603.

Bạn có thể quan tâm đến các công thức SAT với "băng thông" nhỏ hoặc "treewidth". Các công thức này được phân chia đệ quy theo cách mà ranh giới giao tiếp giữa các phân vùng là nhỏ, và do đó, một phương pháp lập trình động liệt kê có thể được sử dụng để giải quyết chúng. Chủ đề đã phổ biến trong những năm chín mươi. Tôi đã từng đếm chính xác số chu kỳ hamiltonian trong đồ thị treewidth nhỏ gồm 24.000 đỉnh, vì vậy các vấn đề #P với treewidth nhỏ cũng có thể giải quyết được. Bodlaender là một tài liệu tham khảo chính.

bài viết sau đây có vẻ gần với những gì được yêu cầu theo một số cách (nếu nó không phù hợp có lẽ JJ có thể làm rõ lý do tại sao). câu hỏi muốn loại trừ các trường hợp PHP (pigeonhole) dựa trên việc thiếu cả hai công thức đúng / sai, nhưng (như được trích dẫn trong các câu trả lời khác) PHP là một trong những trường hợp / trình tạo trường hợp được nghiên cứu kỹ lưỡng từ phía lý thuyết và có luôn luôn là một trình tạo cho cả hai công thức thỏa đáng / không thỏa mãn mặc dù các công thức thỏa đáng ít được nhấn mạnh / nghiên cứu.

${^m_n}$$m$$n$$m>n$$m \leq n$

• Độ phân giải giống như cây là chậm hơn so với độ phân giải giống như DAG đối với nguyên tắc Pigeonhole (1999) của Kazuo Iwama, Shuichi Miyazaki

một cách tiếp cận khác là đi theo một góc độ thực nghiệm hơn và chỉ tạo ra các trường hợp ngẫu nhiên (có lẽ là xung quanh điểm chuyển tiếp thỏa đáng 50% dễ-khó-dễ) và lọc chúng để phù hợp với các tiêu chí đã nêu. người ta sẽ yêu cầu triển khai độ phân giải cây / độ phân giải DAG hoặc "các hệ thống mạnh hơn".