Thuật toán mới cho nhật ký rời rạc và ý nghĩa của nó đối với điện toán lượng tử

Một bài báo mới được đưa ra tuyên bố thuật toán bán đa thức cho Logarit rời rạc. http://arxiv.org/abs/1306.4244

Nếu đúng, điều đó có nghĩa là chúng ta không còn có sự phân tách theo cấp số nhân về độ phức tạp của thuật toán cổ điển và phiên bản lượng tử của nó cho bài toán logarit rời rạc? Điều này có liên quan gì đến lý thuyết phức tạp lượng tử không?

Chà, một quan sát quan trọng là thuật toán mới dường như chỉ hoạt động đối với các nhóm có dạng trong đó nhỏ --- nó không tăng tốc cho các nhóm có dạng . Cái sau là cài đặt phổ biến hơn nhiều mà mọi người nói đến, cả về mật mã và thuật toán của Shor, và thuật toán mới không đe dọa sự tăng tốc lượng tử ở đó. Mặt khác, vâng, trừ khi tôi nhầm, nó làm cho việc tăng tốc nhỏ hơn nhiều trong trường hợp . p Z p Z p $Z_{p^k}$$p$$Z_p$$Z_{p^k}$

Hiểu biết của tôi là nếu , thuật toán có độ phức tạp trên các trường hữu hạn giả sử rằng . Tổng quát hơn, thuật toán có độ phức tạp trong các trường hữu hạn với . Nó đánh bại các thuật toán cổ điển trước đó cho .n O ( log n ) F q k k = O ( q ) L q k ( α , O ( 1 ) ) F q k q ~ L q k ( α ) α < 1 /$k = O (q)$$n^{O (\log n)}$$F_{q^k}$$k = O (q)$$L_{q^k} (\alpha, O (1))$$F_{q_k}$$q \sim L_{q^k} (\alpha)$$\alpha < 1 / 3$

Thuật toán của Shor vẫn nhanh hơn nhiều, nhưng câu hỏi về tăng tốc theo cấp số nhân thực sự phụ thuộc vào định nghĩa của "hàm mũ". (Ngoài ra NFS / FFS là thời gian phụ.)