Các giới hạn trên và dưới được biết đến nhiều nhất hiện nay trên ngưỡng thỏa mãn (un) cho k-sat và / hoặc 3-sat ngẫu nhiên là gì?

Tôi muốn biết trạng thái hiện tại của quá trình chuyển pha cho k-sat ngẫu nhiên, với n biến và m mệnh đề, c = m / n được biết đến nhiều nhất cho giới hạn trên và dưới.

Dimitris Achlioptas trình bày điều này trong bài viết khảo sát của mình từ Sổ tay về sự hài lòng ( PDF ).

Có một phỏng đoán là một ngưỡng cho mỗi k ≥ 3 , do đó khi m / n > r k thì một công thức k -SAT ngẫu nhiên với m mệnh đề và n biến không thỏa mãn với xác suất cao và do đó khi m / n < r k thì một m ngẫu nhiên$r_k$$k \ge 3$$m/n > r_k$$k$$m$$n$$m/n < r_k$$m$ công thức -SAT , -variable k -SAT là thỏa đáng với xác suất cao. (Chính xác hơn, phỏng đoán là trong giới hạn là $n$$k$$n$ có xu hướng vô cùng, xác suất thỏa mãn lần lượt là 0 hoặc 1 trong hai chế độ này.)

Giả sử rằng Giả thuyết Ngưỡng thỏa mãn này được giữ, các giới hạn được biết đến nhiều nhất cho là$r_k$

k 3 4 5 7 10 20
Giới hạn trên tốt nhất 4,51 10,23 21,33 87,88 708,94 726,817
Giới hạn dưới tốt nhất 3,52 7,91 18,79 84,82 704,94 726,809

(bảng này xuất hiện trên trang được chỉ ra là 247 trong dự thảo).

Trong một bản thảo gần đây hơn (arXiv: 1411,0650 ), Jian Đinh, Allan Sly và Nike Sun đã chỉ ra rằng với tất cả đủ lớn, trên thực tế có một ngưỡng r k = 2 k ln 2 - ( 1 + ln 2 ) / 2 + o ( 1 ) và thuật ngữ lỗi o ( 1 ) trong biểu thức này chuyển sang 0 là$k$$r_k = 2^k\ln 2 - (1+\ln 2)/2 + o(1)$$o(1)$$k$ có xu hướng vô cùng.