Các lớp đồ thị mà đường kính có thể được tính trong thời gian tuyến tính

Nhớ lại những đường kính của một đồ thị là độ dài của một con đường ngắn nhất dài nhất trong . Đưa ra một biểu đồ, một thuật toán rõ ràng để tính toán giải quyết vấn đề đường đi ngắn nhất của tất cả các cặp (APSP) và trả về độ dài của đường dẫn dài nhất được tìm thấy.G Diam ( G $G$$G$$\text{diam}(G)$

Được biết, vấn đề APSP có thể được giải quyết trong thời gian tối ưu cho một số lớp biểu đồ. Đối với các đồ thị tổng quát, có một cách tiếp cận lý thuyết đồ thị đại số chạy trong thời gian , trong đó là giới hạn cho phép nhân ma trận. Tuy nhiên, tính toán đường kính rõ ràng không được liên kết chặt chẽ với APSP, như được hiển thị bởi Yuster .O ( M ( n ) log n ) M ( n $O(n^2)$$O(M(n) \log n)$$M(n)$

Là một số lớp đồ thị không tầm thường được biết mà đường kính có thể được tính toán thậm chí nhanh hơn, nói trong thời gian tuyến tính?

Tôi đặc biệt quan tâm đến các biểu đồ hợp âm và bất kỳ lớp con nào của các biểu đồ hợp âm như biểu đồ khối. Ví dụ, tôi nghĩ rằng đường kính của đồ thị hợp âm có thể được tính trong thời gian , nếu có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng cây clique. Một biểu đồ như vậy còn được gọi là hợp âm ur .O ( n + m ) $G$$O(n+m)$$G$

Độ lệch tâm của một đỉnh là độ dài của một con đường ngắn nhất dài nhất bắt đầu từ . Đường kính là độ lệch tâm cực đại trên tất cả các đỉnh. Bất kỳ BFS từ một đỉnh sẽ thiết lập độ lệch tâm của nó. Do đó, một ý tưởng quan trọng để tìm đường kính hiệu quả là xử lý trước biểu đồ để tìm một tập đỉnh nhỏ, ít nhất một trong số đó đạt được độ lệch tâm cực đại.$v$$v$

Chạy một tìm kiếm theo chiều rộng từ vựng đầu tiên , đỉnh cuối thường có độ lệch tâm cao. Đặc biệt, nó được đảm bảo có độ lệch tâm ít nhất một đường kính nhỏ hơn đường kính cho đồ thị hợp âm. Đối với một số lớp con của đồ thị hợp âm như đồ thị khoảng , nó được đảm bảo có độ lệch tâm tối đa. Điều này cũng đúng với một số lớp không hợp âm, chẳng hạn như - đồ thị không có.$\{\text{AT},\text{claw}\}$

LBFS và BFS đều tuyến tính theo kích thước của biểu đồ, nhưng tất nhiên nếu (chẳng hạn như ) thì thời gian chạy sẽ không phải là . Thảo luận của bạn ngụ ý rằng bạn có thể thực sự muốn một thuật toán tuyến tính thay vì .$m = \Omega(n^2)$$K_n$$o(n^2)$$O(m+n)$$o(n^2)$

Vì vậy, đối với một số lớp con của đồ thị hợp âm, thuật toán tuyến tính là chạy LBFS, lấy đỉnh cuối, sau đó chạy BFS bắt đầu từ đỉnh đó. Đối với các biểu đồ hợp âm, điều này sẽ xác định đường kính có sai số nhiều nhất là 1. Các biểu đồ mà điều này chính xác dường như là các biểu đồ có sức mạnh chẵn là hợp âm. Đây chính xác là những biểu đồ hợp âm không chứa mặt trời mọc hoặc đồ con giữ khoảng cách.$(\text{rising sun}- K_2)$

_{(nguồn: graphgroupes.org )}

• Feodor F. Dragan, Falk Nicolai và Andreas Brandstädt, thứ tự LexBFS và sức mạnh của đồ thị , WG 1996, LNCS 1197, 166 Chuyện180. doi: 10.1007 / 3-540-62559-3_15

Tôi không biết nếu điều này có thể được mở rộng để tính đường kính cho tất cả các biểu đồ hợp âm một cách chính xác. Khảo sát của Corneil dường như chỉ ra rằng điều này vẫn còn mở trong năm 2004. Tôi cũng không biết liệu một phân tích đã được thực hiện để mở rộng tìm kiếm từ một đỉnh đến một số không đổi nhỏ hay bắt đầu từ đỉnh; điều này có thể thú vị để khám phá.$\log n$

• Derek G. Corneil, Từ điển tìm kiếm đầu tiên - Một khảo sát , WG 2004, LNCS 3353, 1 phản19. doi: 10.1007 / 978-3-540-30559-0_1

Các đồ thị khối được đề cập trong câu hỏi là khoảng cách di truyền. Một thuật toán thời gian tuyến tính để tính toán đường kính cho đồ thị di truyền từ xa được đưa ra trong [1] (xem Định lý 5).

[1] Dragan, Feodor F. Thống trị các nhóm trong đồ thị di truyền từ xa. Springer Berlin Heidelberg, 1994.