Tôi quan tâm đến độ phức tạp được tham số hóa của vấn đề mà tôi sẽ gọi là vấn đề Set-Dimensional Hits: đưa ra một không gian phạm vi (tức là một hệ thống / siêu dữ liệu đã đặt) S = (X, R) có kích thước VC nhiều nhất là d và a số nguyên dương k, X có chứa một tập hợp con có kích thước k đạt mọi phạm vi trong R không? Phiên bản tham số hóa của vấn đề được tham số hóa bởi k.
Đối với những giá trị nào của d là vấn đề Đặt theo chiều d
- ở FPT?
- trong W [1]?
- W [1] -hard?
- W [2] -hard?
Những gì tôi biết có thể được tóm tắt như sau:
Bộ đánh 1 chiều nằm ở P và do đó ở FPT. Nếu S có kích thước 1 thì không khó để chỉ ra rằng có một tập hợp kích thước 2 hoặc ma trận tỷ lệ mắc của S hoàn toàn cân bằng. Trong cả hai trường hợp, chúng ta có thể tìm thấy một lần nhấn tối thiểu được đặt trong thời gian đa thức.
Bộ đánh 4 chiều là W [1] -hard. Dom, Fellows và Roshua [PDF] đã chứng minh W [1] - sự nghiêm trọng đối với vấn đề đâm hình chữ nhật song song trục trong R ^ 2 với các đường thẳng song song trục. Điều này có thể được định dạng là Tập đánh trong không gian phạm vi của kích thước VC 4.
Nếu không có giới hạn nào được đặt trên d thì chúng ta có vấn đề Set Set đánh dấu tiêu chuẩn là W [2] -complete và NP-Complete.
Langerman và Morin [liên kết citeseer] đưa ra thuật toán của FPT cho Set Cover ở kích thước hạn chế, mặc dù mô hình kích thước giới hạn của chúng không giống với mô hình được xác định bởi kích thước VC bị ràng buộc. Mô hình của họ dường như không bao gồm, ví dụ, vấn đề đánh nửa không gian bằng điểm, mặc dù vấn đề nguyên mẫu cho mô hình của họ tương đương với việc đánh các siêu máy bay có điểm.