Là

Trong khảo sát "Mạch lượng tử độ sâu nhỏ" của D. Bera, F. Green và S. Homer (trang 36 của ACM SIGACT News, tháng 6 năm 2007 tập 38, số 2) , tôi đọc câu sau:

Phiên bản cổ điển của (trong đó cổng A N D và O R có nhiều nhất là fanout không đổi) rõ ràng yếu hơn A C 0 .$QAC^0$$AND$$OR$$AC^0$

Một tài liệu tham khảo cho yêu cầu này bị thiếu. Tôi sẽ gọi lớp này là , trong đó b f là viết tắt của "fanout giới hạn". (Sở thú phức tạp ngừng hoạt động và tôi không thể xác minh xem lớp đó đã có tên trong tài liệu chưa). Nếu chúng ta giả sử fanout không giới hạn cho các bit đầu vào, thì các mạch này dường như tương đương với các công thức độ sâu không đổi cho đến khi tăng kích thước đa thức, do đó, yêu cầu trên không có ý nghĩa gì. Thay vào đó, nếu chúng ta giả sử fanout giới hạn cho các bit đầu vào, thì tôi không thể nghĩ ra bất kỳ ngôn ngữ nào tách lớp này khỏi A C 0 . Một ứng cử viên có thể là ngôn ngữ X : = { x $AC^0_{bf}$$bf$$AC^0$ ,tức làngôn ngữ của các chuỗi chỉ có một 1. Thật dễ dàng để hiển thị X ∈ A C 0 , nhưng tôi đã không quản lý để chứng minh rằng X ∉ A C 0 b f .$X := \{x | \mbox{weight}(x) = 1 \}$$X \in AC^{0}$$X \notin AC^{0}_{bf}$

Các câu hỏi là:

Là thực sự yếu hơn A C 0 ? Nếu có, bất kỳ ý tưởng hoặc bất kỳ tài liệu tham khảo về làm thế nào để chứng minh nó? Và một ngôn ngữ phân tách hai lớp đó là gì? Còn X thì sao?$AC^0_{bf}$$AC^0$$X$

Một ràng buộc trên quạt ra của các bit đầu vào và cổng sẽ làm cho kích thước của mạch tuyến tính. Đặt là một ràng buộc trên quạt ra khỏi cổng và đầu vào. Nó là một DAG với mức độ tối đa giới hạn bởi k và đường dẫn tối đa của chiều dài d . Số lượng dây có sẵn ở mỗi cấp có thể tăng k lần và số dây có sẵn ở đầu là k n , vì vậy tổng số dây trong mạch nhiều nhất là k n ∑ d i = 0 k i ≤ k d + 1 n là O ( n ) .$k$$k$$d$$k$$kn$$kn \sum_{i=0}^d k^i \leq k^{d+1} n$$O(n)$

Bất kỳ hàm nào yêu cầu kích thước siêu tuyến tính sẽ tách lớp chức năng với quạt ra giới hạn (cũng áp dụng cho các bit đầu vào) khỏi A C 0 . Dưới đây là một số ví dụ:$\mathsf{AC^0}$$\mathsf{AC^0}$

1. [CR96]: cần kích thước siêu tuyến tính là 1$\mathsf{AC^0}$Bộ chọn 4 -approximate$\frac{1}{4}$. MộtBộ chọn 4 -proproimate là bất kỳ hàm nào có giá trị là:$\frac{1}{4}$

   • bất cứ khi nào số lượng 1 s nhiều nhất là$0$$1$ ,$\frac{n}{4}$
   • bất cứ khi nào số 0 s nhiều nhất là$1$$0$ ,$\frac{n}{4}$
   • có thể là hoặc 1 nếu không.$0$$1$

2. [Ros08] cho thấy -clique có các hàm A C 0 có độ phức tạp n Θ ( k ) ( n 2 bit đầu vào là các cạnh có thể có của đồ thị có n đỉnh). Điều này cho kích thước siêu dòng thấp hơn cho k > 2 .$k$$\mathsf{AC^0}$$n^{\Theta(k)}$$n^2$$n$$k\gt 2$

3. Có lẽ có thể khái quát ví dụ trong 2 có thể tồn tại bất kỳ cấu trúc cảm ứng không cố định (yêu cầu nhiều hơn một bit) trong một cấu trúc không có thứ tự nhất định, ví dụ:

   • sự tồn tại của một đường dẫn có độ dài 2 trong một biểu đồ đã cho
   • ,$\#_1(x)=2$

   vì chúng yêu cầu số lượng cổng siêu không đổi tùy thuộc vào một bit không thể có trong .$\mathsf{AC^0_{bf}}$

4. Ví dụ đơn giản nhất là một cái cổng duplicator, tức là một cái cổng mà tạo ra bản sao của bit đầu vào của nó. Điều này là không thể trong A C 0 b f vì chỉ O ( 1 ) của các cổng có thể phụ thuộc vào từng bit đầu vào.$\omega(1)$$\mathsf{AC^0_{bf}}$$O(1)$

Ngoài ra, bất kỳ mạch có kích thước S đều có thể biến thành công thức có kích thước tối đa k d S và do đó có công thức A C 0 b f có kích thước k 2 d + 1 n nên mọi hàm của siêu tuyến A C 0 độ phức tạp của công thức sẽ không nằm trong A C 0 b f .$\mathsf{AC^0_{bf}}$$S$$k^dS$$\mathsf{AC^0_{bf}}$$k^{2d+1}n$$\mathsf{AC^0}$$\mathsf{AC^0_{bf}}$

Tài liệu tham khảo:

[CR96] S. Chaudhuri và J. Radhakrishnan, " Hạn chế quyết định trong độ phức tạp của mạch ", 1996

[Ros08] Benjamin Rossman, " Về độ phức tạp liên tục của k-Clique ", 2008

[Juk] Stasys Jukna, "Độ phức tạp của chức năng Boolean: Những tiến bộ và biên giới ", dự thảo