(N) DFA với (các) trạng thái ban đầu / chấp nhận tương tự

13

Những gì được biết về lớp ngôn ngữ được công nhận bởi automata hữu hạn có cùng trạng thái ban đầu và chấp nhận? Đây là một tập hợp con đúng của các ngôn ngữ thông thường (vì mọi ngôn ngữ như vậy đều chứa chuỗi trống), nhưng nó yếu đến mức nào? Có một đặc tính đại số đơn giản?

Ditto cho các ngôn ngữ được công nhận bởi automata không xác định có cùng một tập hợp các trạng thái ban đầu và chấp nhận.

— Noam Zeilberger
nguồn

13

Giả sử bạn có nghĩa là tình trạng ban đầu phải là nhà nước chấp nhận, automata hữu hạn độc đáo có cấu trúc này tương ứng với ngôn ngữ của biểu thức thông thường có dạng

, nơi

là một số biểu hiện thường xuyên.

r^{*}

$r^*$

r

$r$

— Huck Bennett

À, tất nhiên rồi. Cảm ơn! Nếu bạn muốn đăng bình luận này như một câu trả lời, tôi sẽ chấp nhận nó và đóng câu hỏi.

— Noam Zeilberger

8

Câu hỏi này được giải quyết cho automata xác định và cho automata rõ ràng trong cuốn sách [1]

[1] J. Berstel, D. Perrin, C, Reutenauer, Code và automata, Vol. 129 của bách khoa toàn thư về toán học và các ứng dụng của nó, Nhà xuất bản Đại học Cambridge, 2009.

Trong trường hợp automata xác định, việc mô tả đặc trưng được đưa ra trong Dự luật 3.2.5. Nhớ lại rằng một submonoid của là đơn nhất ngay nếu, cho tất cả các , ngụ ý . $M$ $A^*$ $u, v \in M$ $u, uv \in M$ $v \in M$

Đề xuất . Để cho là một tập hợp con thường xuyên của . Các điều kiện sau là tương đương: $L$ $A^*$

là một tiểu đơn vị phải, $L$

cho một số mã tiền tố , $L = P^*$ $P$

Máy tự động tối thiểu của có trạng thái cuối cùng duy nhất, cụ thể là trạng thái ban đầu. $L$

Tồn tại một máy tự động xác định nhận ra có trạng thái ban đầu là trạng thái cuối cùng duy nhất. $L$

Đối với automata không rõ ràng, việc mô tả đặc điểm theo Định lý 4.2.2 và có thể được nêu như sau:

Đề xuất . Đặt là tập con thường xuyên của $L$ . Các điều kiện sau là tương đương: $A^*$

là một tiểu thể tự do của $L$ , $A^*$

cho một số mã , $L = C^*$ $C$

Tồn tại một máy tự động rõ ràng nhận ra có trạng thái ban đầu là trạng thái cuối cùng duy nhất. $L$

Cuối cùng, cho automata không xác định, các đặc tính đơn giản là là một submonoid của $L$ $A^*$ .

— J.-E. Ghim
nguồn

1

Có thể đáng để xem xét sự phân rã đơn thức tiền tố đơn nhất của Eilenberg đối với các ngôn ngữ thông thường (hợp lý trong thuật ngữ của ông). Tôi không có một bản sao của cuốn sách với tôi, nhưng nó ở đâu đó trong các phần trước của Automata, Ngôn ngữ và Máy móc, Tập A (1974).

— gdmclellan

1

@gdmclellan Bạn hoàn toàn đúng. Tài liệu tham khảo chính xác là Chap. IV, Dự luật 3.2.

— J.-E.

Trong cả hai Đề xuất, chúng ta có thể thêm rằng

và

là thường xuyên không? Tức là

cho một số mã tiền tố

mà

có thể được chọn để được thường xuyên?

P

$P$

C

$C$

L = P^{*}

$L = P^*$

P

$P$

P

$P$

— StefanH

14

Hữu hạn automata trong đó tình trạng ban đầu cũng là trạng thái chấp nhận độc đáo có dạng , nơi là một số biểu hiện thường xuyên. Tuy nhiên, như J.-E. Pin chỉ ra dưới đây, ngược lại là không đúng sự thật: có những ngôn ngữ có dạng mà không được chấp nhận bởi một DFA với một trạng thái chấp nhận độc đáo. $r^∗$ $r$ $r^*$

Bằng trực giác, được đưa ra một chuỗi các trạng thái đến nỗi hoặc hoặc sơ đồ trạng thái cơ bản phải có một chu kỳ liên quan đến . Trường hợp thứ hai được bắt giữ theo đại số bởi ngôi sao Kleene. $q_0, \ldots, q_n$ $q_0 = q_n$ $n = 0$ $q_0$

— Huck Bennett
nguồn

2

Các ngôn ngữ được chấp nhận bởi một automaton trong đó tình trạng ban đầu cũng là độc đáo chấp nhận nhà nước chắc chắn có dạng

. Tuy nhiên, điều kiện này không đặc trưng cho các ngôn ngữ được chấp nhận bởi một DFA như vậy. Ví dụ, bất kỳ DFA chấp nhận ngôn ngữ

có ít nhất 2 quốc gia chính thức.

r^{*}

$r^*$

(a, a b)^{*}

$(a, ab)^*$

— J.-E.

2

Tôi nghĩ rằng đặc tính đúng là:

được chấp nhận bởi một tối thiểu DFA có khởi đầu nhà nước là chỉ chấp nhận nhà nước, khi và chỉ khi

có dạng

nơi

là prefix-free . Tôi nhớ đã tìm thấy điều này trong một luận án MS / Tiến sĩ từ những năm 70, nhưng không thể tìm thấy tài liệu tham khảo. Dù sao, nó không quá khó để chứng minh.

L

$L$

L

$L$

α^{*}

$\alpha^*$

α

$\alpha$

— mikero

@ J.-E.Pin: Vâng, cảm ơn bạn, tôi đã cập nhật câu trả lời của tôi.

— Huck Bennett

10

Một lớp con quan trọng của họ này là một lớp con của các ngôn ngữ có thể đảo ngược 0. Một ngôn ngữ là 0 có thể đảo ngược nếu sự đảo ngược của DFA tối thiểu cho ngôn ngữ cũng mang tính quyết định. Hoạt động đảo ngược được định nghĩa là hoán đổi trạng thái ban đầu và trạng thái cuối cùng, và đảo ngược mối quan hệ cạnh của DFA. Điều này có nghĩa là ngôn ngữ có thể đảo ngược 0 chỉ có thể có một trạng thái chấp nhận. Câu hỏi của bạn là thêm một hạn chế nữa rằng trạng thái này phải là trạng thái ban đầu. Hạn chế của bạn không xác định ngôn ngữ có thể đảo ngược 0 vì DFA tối thiểu cho các ngôn ngữ đó có thể có các trạng thái ban đầu và cuối cùng riêng biệt.

Lớp ngôn ngữ đảo ngược rất thú vị bởi vì đây là một trong những họ ngôn ngữ đầu tiên có vô số chuỗi có thể học được từ các ví dụ tích cực. Bài viết của Angluin cũng cung cấp một đặc tính đại số.

Suy luận về ngôn ngữ đảo ngược , Dana Angluin, Tạp chí ACM, 1982

— Vijay D
nguồn

1

Bạn có thể tham khảo automata bán hoa, vì bài báo của họ viết: "Máy tự động bán tự động (SFA) là một máy tự động cắt tỉa với trạng thái ban đầu duy nhất bằng với trạng thái duy nhất trong đó tất cả các chu kỳ sẽ đi qua ban đầu- trạng thái cuối ". Tham khảo "KHAI THÁC KHAI THÁC CỦA TỰ ĐỘNG HÓA TỰ ĐỘNG" -Shubh Narayan Singh, KV Krishna.

— Viresh
nguồn