Các thuật toán để tìm cụm trong đồ thị mức giới hạn

Hãy xem xét một đồ thị với $n$ đỉnh và mức độ tối đa $\Delta$ . Tôi muốn tìm thấy nếu đồ thị có bất kỳ $s$ bè phái, nơi $s \leq \Delta$ và cả hai trong số đó là nhỏ so với $n$ . Tôi chỉ cần tìm một cụm như vậy (hoặc xác nhận rằng không tồn tại)

Có một cách đơn giản để làm điều này: đối với mỗi đỉnh $v$ , kiểm tra tất cả các $s$ -etsets của hàng xóm của $v$ . Do đó, công việc là . $\approx n \binom{\Delta}{s-1}$

Có thuật toán nào hiệu quả hơn cái này không? Ngay cả việc đạt được một tốc độ tăng theo cấp số nhân sẽ tốt?

graph-algorithms

— David Harris
nguồn

Bạn không có ?

s \leq Δ

$s\leq\Delta$

— Lamine

Một câu trả lời tích cực cho câu hỏi này sẽ ngụ ý clique có thể được giải quyết trong thời gian . Lưu ý rằng . Hoặc tương tự, xem xét giải quyết vấn đề clique trong cho mỗi đỉnh .

n^{o (s)}

$n^{o(s)}$

Δ < n

$\Delta<n$

N [v]

$N[v]$

v

$v$

— Yixin Cao

@Yixin, tôi sẽ quan tâm ngay cả đến các giải pháp mất thời gian nói, trong đó là hằng số.

n Δ^{c (s - 1)} / (s - 1)!

$n \Delta^{c(s-1)}/(s-1)!$

c < 1

$c < 1$

— David Harris

Eppstein, Löffler và Strash sửa đổi các thuật toán Bron-Kerbosch, lấy một thuật toán mà danh sách tất cả các bè phái tối đa trong thời gian $O(dn 3^{d/3})$ , nơi là sự suy đồi của đồ thị (lưu ý ). $d$ $d \le \Delta$

Ý tưởng tương tự có thể được mở rộng cho vấn đề phân nhóm tối đa trong các đồ thị -degenerate $d$ và thời gian chạy có thể được cải thiện thành . $O^*(2^{d/4})$

— Austin Hội trưởng
nguồn