Phức tạp của

Hãy xác định bài toán SAT : Cho F 3 , công thức 3-CNF thỏa đáng và F 2 , công thức 2-CNF ( F 3 và F 2 được xác định trên cùng một biến). Là F 3 ∧ F 2 satisfiable?$(3,2)_s$$F_3$$F_2$$F_3$$F_2$$F_3 \wedge F_2$

Sự phức tạp của vấn đề này là gì? (Nó đã được nghiên cứu trước đây chưa?)

Vấn đề này là NP-đầy đủ.

Hãy là một công thức CNF tùy ý (một thể hiện của SAT). Cân nhắc φ ∨ y , nơi y là một biến tươi; rõ ràng, công thức này là thỏa đáng (bạn có thể chỉ cần đặt y thành true). Bây giờ chuyển đổi φ ∨ y tới 3-CNF, sử dụng bất kỳ phương pháp tiêu chuẩn, và để cho ψ biểu thị kết quả. Lưu ý rằng ψ là một satisfiable công thức 3-CNF, vì vậy chúng tôi có thể để cho F 3 = ψ . Bây giờ, hãy để F 2 = ¬ y . Chú ý rằng F 3 ∧ F 2 là satisfiable khi và chỉ khi$\varphi$$\varphi \lor y$$y$$y$$\varphi \lor y$$\psi$$\psi$$F_3 = \psi$$F_2 = \neg y$$F_3 \land F_2$ là. Do đó, ( 3 , 2 ) s vấn đề SAT tối thiểu là khó như SAT. Ngoài ra, rõ ràng là không khó hơn SAT. Do đó, nó chính xác là khó như SAT.$\varphi$$(3,2)_s$

$F_3$$F_3 \wedge F_2$