Kỹ thuật nâng cao để xác định giới hạn phức tạp thấp hơn

Một số bạn có thể đã theo dõi câu hỏi này , đã bị đóng cửa do không phải là cấp độ nghiên cứu. Vì vậy, tôi đang trích ra một phần của câu hỏi ở cấp độ nghiên cứu.

Ngoài các kỹ thuật "đơn giản hơn", chẳng hạn như giảm sắp xếp hoặc vấn đề hoàn thành EXPTIME, kỹ thuật nào đã được sử dụng để chứng minh giới hạn thấp hơn cho độ phức tạp thời gian của một vấn đề?

Đặc biệt:

• Các kỹ thuật "tiên tiến" đã được phát triển trong thập kỷ qua là gì?
• Các kỹ thuật từ Đại số trừu tượng, Lý thuyết danh mục hoặc các nhánh khác của toán học "thuần túy" có thể được áp dụng không? (Ví dụ, tôi thường nghe đề cập đến "cấu trúc đại số" của việc sắp xếp, mà không có bất kỳ lời giải thích thực sự nào về ý nghĩa của điều này.)
• Các kết quả quan trọng nhưng ít được biết đến với độ phức tạp giới hạn thấp hơn là gì?

Giới hạn dưới cho các mạch đại số

Trong cài đặt của các mạch đại số, trong đó giới hạn dưới của kích thước mạch tương tự với giới hạn thấp hơn về thời gian, nhiều kết quả được biết đến, nhưng chỉ có một vài kỹ thuật cốt lõi trong kết quả hiện đại hơn. Tôi biết bạn đã yêu cầu giới hạn thời gian thấp hơn, nhưng tôi nghĩ trong nhiều trường hợp, hy vọng là giới hạn đại số sẽ một ngày nào đó dẫn đến giới hạn máy Boolean / Turing. Những kết quả này thường sử dụng các kỹ thuật sâu hơn từ "toán học thuần túy" khi bạn đặt nó.

I. Mức độ ràng buộc.

Strassen đã chỉ ra rằng nhật ký mức độ của một loại đại số nhất định liên quan đến (một) hàm (s) là giới hạn thấp hơn về kích thước mạch đại số của việc tính toán các hàm đó.

II. Các thành phần được kết nối (hoặc nói chung là kích thước của bất kỳ nhóm tương đồng cao hơn).

Ben-Or đã chỉ ra rằng kích thước của cây quyết định đại số thực quyết định thành viên trong một tập hợp (bán đại số) ít nhất là trong đó là số lượng các thành phần được kết nối của tập hợp đó. Ben-Or đã sử dụng điều này để chứng minh một bị ràng buộc thấp hơn trong việc sắp xếp (tốt, tính khác biệt của phần tử, nhưng tính khác biệt của phần tử giảm theo cách sắp xếp) trong mô hình cây quyết định đại số thực. Yao đã mở rộng điều này từ các thành phần được kết nối thành tổng của các số Betti và đã chứng minh giới hạn dưới tối ưu cho các vấn đề khác (như -equals)). Trong một bài báo khác, Yao đã mở rộng điều này cho các cây quyết định đại số trên các số nguyên.C Ω ( n log n ) $\log C$$C$$\Omega(n \log n)$$k$

III. Dẫn một phần.

Đây là đặc điểm của nhiều giới hạn đại số hiện đại. Tôi tin rằng các dẫn xuất một phần lần đầu tiên được sử dụng để chứng minh giới hạn dưới của Baur-Strassen, nơi họ cho thấy rằng tính toán tất cả các phần đầu tiên của có thể được thực hiện ở kích thước 5 s trong đó s là kích thước cần thiết để tính f . Kết hợp với giới hạn mức độ của Strassen, điều này đã chocác giới hạn kích thước Ω ( n log n ) thấp hơn trên các hàm khác nhau, vẫn là giới hạn thấp nhất mạnh nhất về kích thước của các mạch số học không giới hạn cho một hàm rõ ràng.$f$$5s$$s$$f$$\Omega(n \log n)$

Việc sử dụng các công cụ phái sinh một phần gần đây dường như xuất phát từ một bài báo của Nisan, trong đó ông đã chứng minh giới hạn thấp hơn trên các mạch không hoạt động bằng cách xem xét kích thước không gian của tất cả các công cụ phái sinh một phần. Điều này đã được Nisan-Wigderson sử dụng để chứng minh các giới hạn thấp hơn đối với các loại giới hạn độ sâu 3 và các ý tưởng tương tự đã được sử dụng để chứng minh các giới hạn thấp hơn về kích thước công thức đa tuyến của Raz (và các mô hình liên quan của Raz và cộng tác viên). Độ sâu 4 và độ sâu 3 gần đây của Gupta, Kayal, Kamath và Saptharishi gần đây sử dụng khái quát hóa ý tưởng này, để đếm kích thước của không gian của "đạo hàm riêng được dịch chuyển" - nơi bạn có thể lấy đạo hàm riêng và sau đó nhân với bất kỳ đơn thức của một mức độ nhất định. ) có thể "chỉ" là vấn đề hiểu rõ hơn về lý tưởng được tạo ra bởi những người vị thành niên vĩnh viễn (xem phần phỏng đoán ở cuối bài viết của họ).$\mathrm{VP} \neq \mathrm{VNP}$

IV. Xác định phương trình cho giống.

Ý tưởng ở đây là liên kết với "các hàm dễ" một loại đại số nhất định, tìm các phương trình biến mất trên giống này và cho thấy các phương trình này không biến mất trên "hàm cứng" của bạn. (Do đó chứng minh rằng hàm cứng của bạn không có nhiều hàm dễ, vì vậy nó thực sự khó.) Đặc biệt hữu ích trong các giới hạn thấp hơn trong phép nhân ma trận. Xem Landsberg - Ottaviani trên arXiv để biết thông tin mới nhất và các tài liệu tham khảo về giới hạn dưới trước.

(Trên thực tế, I, II và III ở trên đều có thể được xem là trường hợp đặc biệt của việc tìm phương trình xác định cho một số giống nhất định, mặc dù các bằng chứng sử dụng I, II, III về cơ bản không bao giờ được thực hiện theo cách đó, vì thực sự không có cần để.)

V. Lý thuyết đại diện, đặc biệt. như trong lý thuyết phức tạp hình học.

Trên thực tế, cũng được Landsberg - Ottaviani sử dụng để tìm một số phương trình cho một loại nhất định. Cũng được Burgisser-Ikenmeyer sử dụng để có được một bằng chứng lý thuyết đại diện "hoàn toàn" về một yếu kém hơn một chút về ràng buộc ma trận. Được phỏng đoán bởi Mulmuley và Sohoni (xem "Lý thuyết phức tạp hình học I & II") rất hữu ích để giải quyết vs V N P và cuối cùng là N P so với P / p o l y .$\mathrm{VP}$$\mathrm{VNP}$$\mathrm{NP}$$\mathrm{P/poly}$

Kaveh đã nhẹ nhàng đề nghị trong câu trả lời của mình rằng tôi nên nói gì đó. Tôi không có nhiều thứ khác để đóng góp vào danh sách câu trả lời toàn diện độc đáo này. Tôi có thể thêm một vài từ chung chung về mức độ "phức tạp cấu trúc" đã phát triển trong mười năm qua. (Tôi sử dụng tên "độ phức tạp cấu trúc" đơn giản để phân biệt với đại số, độ phức tạp trong giao tiếp, v.v.)

Các cách tiếp cận hiện tại vẫn chủ yếu dựa trên đường chéo và đặc biệt là mô hình cơ bản sau: Bắt đầu bằng cách giả định ngược lại với giới hạn dưới. Điều này cung cấp cho bạn một thuật toán tốt đẹp cho một số vấn đề. Cố gắng sử dụng thuật toán đó để mâu thuẫn với một số định lý phân cấp dựa trên cơ sở chéo, chẳng hạn như phân cấp thời gian hoặc phân cấp không gian. Vì các đối số chéo chỉ là không đủ để chứng minh giới hạn mới, các thành phần khác được thêm vào hỗn hợp để có được công thức mâu thuẫn.

Tôi nên nói rằng nhiều lập luận từ thập niên 70 và 80 cũng có thể được nói là tuân theo mô hình trên; sự khác biệt chính hiện nay là "các thành phần khác" - có nhiều thành phần để lựa chọn, và cách thức áp dụng các thành phần dường như chỉ bị giới hạn bởi sự sáng tạo của chính bạn. Đôi khi, khi bạn không biết cách trộn các thành phần cụ thể để có được công thức tốt hơn, nhưng bạn hiểu rất rõ cách họ có thể trộn, điều đó giúp mã hóa một chương trình máy tính gợi ý các công thức mới cho bạn.

Sẽ rất thú vị khi có được bằng chứng mới về các giới hạn thấp gần đây mà chắc chắn không tuân theo mô hình này. Ví dụ, có thể được chứng minh mà không cần bất kỳ tham chiếu đến một đối số diagonalization? Để bắt đầu, nó có thể được chứng minh mà không cần gọi định lý phân cấp thời gian không xác định? (Chẳng hạn, người ta có thể sử dụng "phân cấp kích thước mạch" không?)$NEXP \not\subset ACC$

Các kỹ thuật phụ thuộc vào mô hình và loại tài nguyên mà chúng tôi muốn có được ràng buộc thấp hơn. Lưu ý rằng để chứng minh giới hạn thấp hơn về độ phức tạp của vấn đề, trước tiên chúng ta phải sửa một mô hình tính toán: giới hạn thấp hơn cho một trạng thái vấn đề là không có thuật toán nào sử dụng một lượng tài nguyên có thể giải quyết vấn đề, tức là chúng ta đang định lượng toàn cầu trên các thuật toán. Chúng ta cần có một định nghĩa toán học về lĩnh vực định lượng. (Điều này thường đúng với kết quả không thể chấp nhận được.) Do đó, kết quả ràng buộc thấp hơn chỉ giữ cho mô hình tính toán cụ thể. Ví dụ: $\Omega(n \log n)$giới hạn dưới để sắp xếp chỉ hoạt động đối với các thuật toán sắp xếp dựa trên so sánh, không có hạn chế này và trong các mô hình tính toán tổng quát hơn, có thể giải quyết việc sắp xếp nhanh hơn, thậm chí là thời gian tuyến tính. (Xem bình luận của Josh bên dưới.)

Dưới đây là một vài phương pháp trực tiếp cơ bản để chứng minh các giới hạn thấp hơn trong lý thuyết độ phức tạp tính toán cho các mô hình tính toán tổng quát hơn (máy và mạch Turing).

I. Đếm:

Ý tưởng: Chúng tôi cho thấy rằng có nhiều chức năng hơn thuật toán.

Ví dụ: Có các hàm yêu cầu mạch lớn theo cấp số nhân.

Vấn đề với phương pháp này là nó là một đối số hiện sinh và không đưa ra bất kỳ chức năng rõ ràng hoặc bất kỳ giới hạn trên nào về độ phức tạp của vấn đề được chứng minh là khó khăn.

II. Kết hợp / Đại số:

Ý tưởng: Chúng tôi phân tích các mạch và chỉ ra rằng chúng có một thuộc tính cụ thể, ví dụ các hàm được tính toán bởi chúng có thể được xấp xỉ bởi một số đối tượng toán học tốt đẹp, trong khi hàm mục tiêu không có thuộc tính đó.

Ví dụ: Bổ đề chuyển đổi của Håstad và các biến thể của nó sử dụng cây quyết định để xấp xỉ , Razborov-Smolensky sử dụng đa thức trên các trường để xấp xỉ các hàm A C 0 [ p ] , v.v.$\mathsf{AC^0}$$\mathsf{AC^0}[p]$

Vấn đề với phương pháp này là trong thực tế, nó chỉ có tác dụng đối với các lớp nhỏ và tương đối dễ phân tích. Ngoài ra còn có hàng rào Bằng chứng Tự nhiên của Razborov-Rudich, theo cách mà chính thức hóa lý do tại sao bản thân các thuộc tính đơn giản không đủ để chứng minh các giới hạn chung của mạch thấp hơn.

Bài viết của Razborov " Về phương pháp gần đúng " lập luận rằng phương pháp gần đúng đã hoàn thành để chứng minh các giới hạn thấp hơn theo một nghĩa nào đó.

III. Đường chéo:

Ý kiến. Chúng tôi chéo với các chức năng trong lớp nhỏ hơn. Ý tưởng quay trở lại với Gôdel (và thậm chí cả Cantor).

Vd Các định lý phân cấp thời gian , định lý phân cấp không gian , v.v.

Vấn đề chính của phương pháp này là để có được giới hạn trên, chúng ta cần phải có một trình giả lập phổ quát cho lớp nhỏ hơn và rất khó để tìm ra các trình giả lập không tầm thường. Ví dụ, để tách khỏi P S p a c e, chúng ta cần phải có một trình giả lập cho P bên trong P S p a c e và có kết quả cho thấy rằng nếu có những trình giả lập như vậy thì chúng sẽ không tốt. Do đó, chúng ta thường kết thúc bằng việc tách các lớp với cùng loại tài nguyên trong đó sử dụng nhiều tài nguyên hơn một chút, chúng ta có thể mô phỏng phổ biến lớp nhỏ hơn.$\mathsf{P}$$\mathsf{PSpace}$$\mathsf{P}$$\mathsf{PSpace}$

Chúng tôi cũng có hàng rào tương đối hóa (quay trở lại Baker, Gill và Solovay) và hàng rào đại số (của Aaronson và Wigderson) trong đó nêu rõ các loại đối số đường chéo cụ thể sẽ chuyển sang các cài đặt khác trong đó kết quả có thể sai.

Lưu ý rằng các rào cản này không áp dụng cho các đối số đường chéo tổng quát hơn. Trên thực tế, trong bài viết " Lập chỉ mục các lớp học phụ " của Dexter Kozen , việc chéo hóa hoàn thành để chứng minh các giới hạn thấp hơn.

Như bạn có thể nhận thấy, có một mối quan hệ mạnh mẽ giữa việc tìm kiếm các trình giả lập phổ quát tốt cho một lớp phức tạp và tách lớp phức tạp đó khỏi các lớp lớn hơn (đối với một tuyên bố chính thức xem bài báo của Kozen).

Những công việc mới đây

Đối với những tiến bộ gần đây, kiểm tra các giấy tờ gần đây của Ryan Williams . Tôi không thảo luận về họ trong câu trả lời này vì tôi hy vọng chính Ryan sẽ viết một câu trả lời.

Cây quyết định đại số

Đây không phải là một kỹ thuật gần đây, nhưng là một kỹ thuật khá mạnh đối với một số vấn đề nhất định.

Mô hình cây quyết định đại số là một khái quát mạnh mẽ của cây so sánh. Trong mô hình này, một thuật toán được mô hình hóa như một họ các cây quyết định không đồng nhất, một thuật toán cho mỗi kích thước đầu vào . Cụ thể, cây quyết định đại số theo thứ tự d là cây ternary gốc có cấu trúc như sau:$n$$d$

• $v$$q_v(x_1, \dots, x_n)$$d$$x_i-x_j$$i$$j$

• $-1$$0$$+1$

• $\{1,2,\dots,n\}$

$\vec{x}\in\mathbb{R}^n$

$\Omega(n^d)$

$\ell$$R(\ell) \subseteq \mathbb{R}^n$$\ell$$R(\ell)$$\mathbb{R}^n$$t = \text{depth}(\ell)$$d$$d$$(dt)^{O(n)}$

$W\subseteq\mathbb{R}^n$$d$$t$$W$$3^t (dt)^{O(n)}$$t = \Omega(\log \#W - n\log d)$

$n$$W$$n!$$n$$\Omega(n\log n)$

$\Omega(n\log n)$

$R(\ell)$$(dt)^{O(n)}$

$n^{O(n)}$$n\log n$

$\Omega(n^2)$$O(n^4\log n)$$2^{O(n)}$$\mathbb{R}^n$$n^4\log n$$k$$k$$k$$k$$O(n^{k/2})$$O(n^4\log n)$đa thức truy vấn; thời gian xây dựng này là miễn phí trong mô hình giới hạn dưới.

Hoan hô cho kết quả tiêu cực kép!

Manindra Agrawal có một bài viết rất hay "Chứng minh giới hạn thấp hơn thông qua các nhà tạo ra Psuedorandom". Đây có thể được coi là một "con ngựa đen" đang chạy để chứng minh giới hạn thấp hơn nhưng bài báo rất thú vị.

đây là một khảo sát 32p vừa xuất hiện trên chủ đề tập trung vào góc giới hạn dưới của mạch (có sự trùng lặp mạnh mẽ trong nội dung với các câu trả lời khác ở đây).

• Thuật toán so với giới hạn mạch dưới của Oliveira

Các kỹ thuật khác nhau đã được sử dụng để chứng minh một số định lý chuyển giao có dạng "thuật toán không cần thiết cho một loại mạch C mang lại giới hạn mạch thấp hơn so với C". Trong khảo sát này, chúng tôi xem xét lại nhiều kết quả. Chúng tôi thảo luận về cách giới hạn mạch thấp hơn có thể thu được từ các thuật toán khử, nén, học và các thuật toán thỏa mãn. Chúng tôi cũng đề cập đến mối liên hệ giữa các giới hạn dưới của mạch và các thuộc tính hữu ích, một khái niệm hóa ra là cơ bản trong bối cảnh của các định lý chuyển giao này. Trên đường đi, chúng tôi có được một vài kết quả mới, đơn giản hóa một số bằng chứng và hiển thị các kết nối liên quan đến các khung khác nhau. Chúng tôi hy vọng rằng bài thuyết trình của chúng tôi sẽ phục vụ như là một giới thiệu khép kín cho những người quan tâm đến việc theo đuổi nghiên cứu trong lĩnh vực này.