Là RNC thống nhất có trong không gian polylog?

Log-space-NC NC được chứa trong không gian polylog xác định (đôi khi được viết bằng PolyL). Là RNC log-space-thống nhất cũng trong lớp này? Phiên bản ngẫu nhiên tiêu chuẩn của PolyL phải có trong PolyL, nhưng tôi không thấy RNC (đồng nhất) đó là ngẫu nhiên-PolyL.

Khó khăn tôi thấy là trong RNC, mạch có thể "nhìn vào các bit ngẫu nhiên" nhiều như nó muốn; tức là, các đầu vào ngẫu nhiên có thể có fanout tùy ý. Nhưng trong phiên bản ngẫu nhiên của PolyL, không giống như bạn có được một cuộn băng bit ngẫu nhiên mà bạn có thể xem nhiều như bạn muốn; thay vào đó, bạn chỉ được phép lật một đồng xu ở mỗi bước thời gian.

Cảm ơn!

Có lẽ hầu hết mọi người nghĩ rằng (hoặc thậm chí là R N C = N C ), nhưng tôi hoài nghi về điều này (xem phần thứ hai của tôi Trả lời dưới đây). Nếu R N C thực sự được chứa trong D S P A C E ( p o l y l o g ) , thì nó cũng được chứa trong $\mathsf{RNC}\subseteq \mathsf{DSPACE(polylog)}$$\mathsf{RNC}=\mathsf{NC}$$\mathsf{RNC}$$\mathsf{DSPACE(polylog)}$ (cụ thể hơn, đó là trong D T I M E ( 2 p o l y l o g ) bằng cách tìm kiếm toàn diện).$\mathsf{NTIME(2^{polylog})}$$\mathsf{DTIME(2^{polylog})}$

Valentine Kabanets đã giải thích cho tôi lập luận (văn hóa dân gian) sau đây từ bài viết của anh ấy với Russell Impagliazzo giải thích tại sao là không thể.$\mathsf{RNC} \subseteq \mathsf{NTIME(2^{polylog})}$

Định lý: Nếu , thì N E X P không thể tính được bằng các mạch Boolean có kích thước o ( 2 n / n ) (tức là tối đa hóa phụ theo Shannon; không liên quan nhưng xem Lupanov về độ chặt) hoặc Vĩnh viễn không thể tính được bằng các công thức số học (không phân chia) trên Z có kích thước quasipolynomial.$\mathsf{RNC}\subseteq \mathsf{NTIME(2^{polylog})}$$\mathsf{NEXP}$$o(2^n/n)$${\mathbb Z}$

Chứng minh: giả sử . Nếu Vĩnh viễn có một công thức kích thước quasipolynomial, thì chúng ta có thể đoán và xác minh một công thức như vậy cho Vĩnh viễn bằng cách sử dụng một công cụ kiểm tra nhận dạng đa thức thời gian quasipolynomial bằng giả định. Nơi này thường trực trong N T I M E ( 2 p o l y l o g ) .$\mathsf{RNC}\subseteq \mathsf{NTIME(2^{polylog})}$$\mathsf{NTIME(2^{polylog})}$

Bởi lý Toda của, là sau đó cũng trong N T I M E ( 2 p o l y l o g ) . Bằng cách đệm, phiên bản thời gian tuyến tính theo cấp số nhân của Σ 5 cũng nằm trong N E X P . Do đó, phiên bản lũy thừa tuyến tính của Σ 5 có mạch có kích thước o ( 2 n / n ) (tức là subax). Nhưng, bằng một đối số đường chéo đơn giản, người ta có thể chỉ ra rằng phiên bản lũy thừa tuyến tính của Σ $\Sigma_2$$\mathsf{NTIME(2^{polylog})}$$\Sigma_5$$\mathsf{NEXP}$$\Sigma_5$$o(2^n/n)$$\Sigma_5$yêu cầu kích thước mạch tối đa, đó là một mâu thuẫn (nhân tiện, đây là một biến thể của câu hỏi cấp trung cho khóa học phức tạp cấp độ sau đại học; có thể chứng minh rằng yêu cầu mạch kích thước tối đa là một đơn giản hơn). QED.$\mathsf{EXPSPACE}$

Bây giờ hướng không phổ biến.

Chúng ta đã biết rằng ngẫu nhiên đọc nhiều lần có thể làm một cái gì đó không rõ ràng. Một ví dụ thú vị có thể được tìm thấy trong " Làm cho chủ nghĩa không phổ biến không rõ ràng " của Reinhardt và Allender (họ nói nó về tính không đồng nhất nhưng về nguyên tắc là về việc sử dụng tính ngẫu nhiên đọc nhiều lần). Một ví dụ thú vị khác (ít liên quan trực tiếp) là " Sự ngẫu nhiên mua độ sâu cho việc đếm gần đúng " của Emanuele Viola. Tôi đoán tất cả những gì tôi đang nói là tôi sẽ không ngạc nhiên nếu việc khử cộng đồng của không phải là điều mà hầu hết mọi người mong đợi.$\mathsf{RNC}$

(Ngoài ra còn có một vài bài báo khác, như bài báo tuyệt vời của Noam Nisan về đọc một lần so với đọc ngẫu nhiên, cho thấy cách mua lỗi hai mặt với lỗi một phía.)

Nhân tiện, việc hiểu cách xây dựng các PRG đánh lừa các mô hình tính toán giới hạn không gian với nhiều truy cập vào đầu vào của chúng (ví dụ: độ dài tuyến tính Bps) cũng rất liên quan đến câu hỏi này.

- Periklis