Số lượng tối đa của các đường dẫn st chiều dài phân tách đỉnh bên trong

Đặt là một đồ thị đơn giản không có hướng và cho s , t ∈ V ( G ) là các đỉnh riêng biệt. Đặt độ dài của đường dẫn đơn giản là số cạnh trên đường dẫn. Tôi quan tâm đến việc tính toán kích thước tối đa của một tập hợp các đường dẫn st đơn giản sao cho mỗi đường dẫn có độ dài lẻ và các tập đỉnh của mỗi cặp đường dẫn chỉ giao nhau theo s và t. Nói cách khác, tôi đang tìm kiếm số lượng tối đa của các đường st có độ dài lẻ trong nội bộ. Tôi nghĩ rằng điều này nên được tính toán theo thời gian đa thức bằng các kỹ thuật so khớp hoặc dựa trên dòng chảy, nhưng tôi không thể đưa ra một thuật toán. Đây là những gì tôi biết về vấn đề.$G$$s,t \in V(G)$

1. Chúng tôi có thể thay thế hạn chế thành chiều dài lẻ bằng chiều dài chẵn; điều này không thực sự ảnh hưởng đến vấn đề vì người này biến đổi thành người khác nếu chúng ta chia nhỏ tất cả các sự cố cạnh trên s.

2. Nếu không có giới hạn về tính chẵn lẻ của các đường dẫn thì định lý của Mạnh đưa ra câu trả lời, có thể thu được bằng cách tính một luồng cực đại.

3. Vấn đề xác định số lượng tối đa của các chu kỳ có độ dài lẻ phân tách đỉnh chỉ giao nhau theo một đỉnh v đã cho có thể tính toán được trong thời gian đa thức bằng một thủ thuật khớp: xây dựng đồ thị G 'làm liên kết rời rạc của và ( G - N G [ v ] ) , thêm các cạnh giữa hai bản sao của cùng một đỉnh; một kết hợp tối đa trong biểu đồ kích thước này | V ( G ) | - | N G [ v ] | + k ngụ ý rằng số chu kỳ lẻ tối đa đi qua$(G - {v})$$(G - N_G[v])$$|V(G)| - |N_G[v]| + k$ là k ; cấu trúc này được mô tả trong bằng chứng bổ đề 11 củaTrên biến thể nhỏ lẻ của phỏng đoán của Hadwiger.$v$$k$

4. Nếu đồ thị được định hướng thì kiểm tra sự tồn tại của một đường dẫn có độ dài chẵn duy nhất đã hoàn thành NP.

5. Bài báo Vấn đề đường dẫn chẵn cho đồ thị và sơ đồ của Lapaugh và Papadimitriou có thể có liên quan, nhưng tiếc là thư viện của chúng tôi không đăng ký vào kho lưu trữ trực tuyến và chúng tôi không có bản sao giấy.

Bất kỳ hiểu biết sẽ được nhiều đánh giá cao!

$G=(V,E)$$s,t \in V$$k$$k$$s$$t$$k$$s$$t$$t$$G'$là đồ thị thu được. Khi đó có k đường dẫn phân tách đỉnh có độ dài lẻ giữa s và t iff G ′ có k đường dẫn phân tách đỉnh có độ dài chẵn giữa s và t .$G$$k$$s$$t$$G'$$k$$s$$t$

Do đó, nếu một trong những vấn đề này là NP-đầy đủ, thì vấn đề khác cũng vậy. Bây giờ, Itai, Perl và Shiloach chỉ ra rằng vấn đề quyết định liệu có tồn tại các đường phân tách đỉnh có độ dài năm giữa s và t hay không là NP- Sự phức tạp của việc tìm các đường phân tách tối đa với các ràng buộc về độ dài . Mạng, Tập 12, Số 3, trang 277 Lu-286, 1982.] Mức giảm là từ 3SAT và trong biểu đồ được xây dựng, các đường dẫn có độ dài lẻ giữa s và t đều có độ dài chính xác là năm. Do đó, sự cố Đường dẫn lẻ của Vertex-Disjoint trong NP-đầy đủ và Đường dẫn độ dài chẵn của Vertex-Disjoint cũng vậy.$k$$s$$t$$s$$t$

Hi vọng điêu nay co ich.

(Đây không phải là một câu trả lời, nhưng tôi chưa thể bình luận) Tôi nghĩ rằng câu trả lời trên không hoạt động, bởi vì nó không đảm bảo rằng các đường dẫn sẽ tách rời khỏi đỉnh. Một đường dẫn có thể sử dụng u 'và u khác trong G'; trong G họ sẽ sử dụng cùng một đỉnh u.