Vấn đề quyết định dễ dàng, vấn đề tìm kiếm khó khăn

Quyết định xem trạng thái cân bằng Nash có dễ dàng hay không (luôn luôn như vậy); tuy nhiên, thực sự việc tìm kiếm một thứ được cho là khó khăn (đó là PPAD-Complete).

Một số ví dụ khác về các vấn đề trong đó phiên bản quyết định là dễ dàng nhưng phiên bản tìm kiếm tương đối khó khăn (so với phiên bản quyết định)?

Tôi sẽ đặc biệt quan tâm đến các vấn đề trong đó phiên bản quyết định là không có giá trị (không giống như trường hợp cân bằng Nash).

Cho một số nguyên, nó có một yếu tố không tầm thường? -> Không tầm thường trong P.

Cho một số nguyên, tìm một yếu tố không tầm thường, nếu có một -> Không biết là có trong FP.

Đây là một ví dụ khác: Cho một đồ thị khối G và một chu kỳ hamiltonian trong G, tìm một chu kỳ hamiltonian khác trong G. Một chu trình như vậy tồn tại (theo định lý của Smith), nhưng theo như tôi biết, nó có thể mở được hay không tính toán trong thời gian đa thức.

Nếu bạn đưa ra "độ trễ" tương tự như sau đối với cân bằng Nash, thì:

• Hệ số nguyên, trong đó vấn đề quyết định là "Có đại diện nhân tố nào cho số nguyên này không?" (tầm thường, có), và vấn đề tìm kiếm là xuất nó

Một số vấn đề mạng có thể hình dung phù hợp ở đây với cùng một loại trợ cấp hào phóng để xác định vấn đề quyết định:

• Bài toán vectơ ngắn nhất (SVP) - quyết định xem có vectơ ngắn nhất so với tìm không
• Vấn đề vectơ gần nhất (CVP) - quyết định xem có vectơ gần nhất so với tìm nó không

Tất nhiên, đây là tất cả các trường hợp mà phiên bản quyết định mà tôi đã đề cập không thú vị lắm (vì đó là trường hợp tầm thường). Một vấn đề không hoàn toàn tầm thường :

• Phẳng đồ thị -colorability cho k ≥ $k$$k \ge 4$

Vấn đề quyết định của đồ thị phẳng 4 màu là ở P. Nhưng có được giải pháp từ vựng đầu tiên như vậy là NP-hard ( Khuller / Vazirani ).

Lưu ý rằng tài sản bạn thực sự quan tâm là khả năng tự giảm (hay đúng hơn là không tự giảm). Trong bài toán tô màu đồ thị phẳng, vấn đề cốt yếu là phương pháp tự giảm trường hợp chung của tính màu sẽ phá hủy tính phẳng trong đồ thị.$k$

Hãy , đồ thị ngẫu nhiên trên 1 , ... , n , trong đó mỗi cạnh là một cách độc lập hiện với xác suất 1 / 2 . Chọn n 1 / 3 đỉnh của G thống nhất một cách ngẫu nhiên và thêm tất cả các cạnh giữa chúng; gọi kết quả đồ thị H . Sau đó, H có một phe nhóm kích thước n 1 / 3 .$G=G(n,1/2)$$1,\ldots,n$$1/2$$n^{1/3}$$G$$H$$H$$n^{1/3}$

Vấn đề tìm kiếm: tìm một cụm kích thước ít nhất .$10\log n$

Thêm một ví dụ nữa; Các đẳng thức tổng hợp con: Cho số tự nhiên với Σ n 1 một i < 2 n - 1 . Nguyên lý lỗ chim bồ câu đảm bảo sự tồn tại của hai tập con I , J trong 1 , 2 , . . . , N mà Σ i ∈ tôi một i$a_1,a_2,a_3,...,,a_n$$\sum_1^n{a_i} \lt 2^n -1$$I, J$${1,2,..., n}$ (vì là tập con hơn số tiền có thể). Sự tồn tại của thuật toán thời gian đa thức để tìm tập I và J là một vấn đề mở nổi tiếng.$\sum_{i\in I} a_i=\sum_{j \in J} a_j$$I$$J$

Subset-tổng bằng (phiên bản pigeonhole)

Một ví dụ lý thuyết số khác, tương tự như những người ở trên. Điều này được biết bởi định đề của Bertrand rằng với mọi số nguyên dương , có một số nguyên tố nằm giữa n và 2 n . Nhưng chúng tôi không có thuật toán thời gian đa thức hiện tại để tìm một số nguyên tố như vậy, cho n . (Thuật toán mong muốn phải chạy trong thời gian polylog ( n ).) Người ta có thể dễ dàng đưa ra các thuật toán ngẫu nhiên thời gian đa thức vì định lý số nguyên tố , và người ta có thể giải thích chúng bằng cách giả định một số phỏng đoán lý thuyết số tiêu chuẩn (như phỏng đoán của Cramer$n$$n$$2n$$n$$n$), nhưng không biết thuật toán xác định thời gian đa thức vô điều kiện. Công việc liên quan gần đây đã được thực hiện trong dự án Polymath4 ; Bài viết trên blog của Tao về dự án là một bản tóm tắt tốt về nó.

Có nguy cơ hơi lạc đề, tôi xin đưa ra một ví dụ đơn giản và tự nhiên về câu trả lời lý thuyết C : chu trình Euler và thuật toán phân tán.

Vấn đề quyết định không hoàn toàn tầm thường, theo nghĩa là có cả đồ thị Euler và không phải Euler.

Tuy nhiên, có một thuật toán phân tán nhanh và đơn giản để giải quyết vấn đề quyết định (theo nghĩa là đối với trường hợp có, tất cả các nút xuất ra "1" và đối với không có ít nhất một nút xuất ra "0"): mỗi nút chỉ kiểm tra tính chẵn lẻ của mức độ của chính nó và xuất ra 0 hoặc 1 tương ứng.

$\Omega(n)$$O(n)$

$O(1)$$\Theta(n)$

Chỉnh sửa: Điều này mặc nhiên giả định rằng biểu đồ được kết nối (hoặc, tương đương, rằng chúng tôi muốn tìm một chu kỳ Euler trong mỗi thành phần được kết nối).

Tìm phân vùng Tverberg là phức tạp không xác định:

Định lý: Đặt là các điểm trong R d , m ≥ ( r - 1 ) ( d + 1 ) + 1 . Sau đó, có một phân vùng $x_1,x_2,\dots, x_m$$R^d$$m \ge (r-1)(d+1)+1$$S_1,S_2,\dots, S_r$${1,2,\dots,m}$$\cap _{j=1}^r \text{conv} (x_i: i \in S_j) \ne \emptyset$

Giống như với cân bằng Nash, phân vùng được đảm bảo bởi định lý, nhưng không biết có tồn tại thuật toán đa thời gian để tìm một thuật toán không.

Gil Kalai đã viết một loạt bài viết tuyệt vời về chủ đề này: Một , Hai và Ba .

Trong tất cả các ví dụ ở trên, vấn đề quyết định là ở P và vấn đề tìm kiếm không được biết là ở P nhưng cũng không được biết là NP-hard. Tôi muốn chỉ ra rằng có thể có một vấn đề tìm kiếm NP-hard mà phiên bản quyết định của nó rất dễ dàng.

$R_1,\ldots,R_k$$\{0,1\}$

$R_1,\ldots,R_k$$R = \{(1,0,0),(0,1,0),(1,1,1)\}$$k = 1$). Một khi vấn đề thỏa mãn có thể giải quyết được trong thời gian đa thức, câu hỏi liệu có tồn tại một phép gán thỏa mãn tối thiểu theo từ vựng hay không là chuyện nhỏ.

Xem luỵ 13 và ví dụ sau nó trong giấy trên (ít nhất là trong này phiên bản on-line).

• $k$$k$
• Phiên bản tìm kiếm là NP -hard: Tìm số lượng đồ thị màu sắc mà không có đường dẫn cảm ứng với năm đỉnh; do bài báo này .

$e$$e (a + b, c + d) = e (a c) e (a d) e (b c) e (b d)$$e$

$e$$(g, h, g^a, h^b)$$a = b$$e (g, h^b) = e (h, g^a)$

Những nhóm như vậy cũng được khái quát thành "nhóm khoảng cách".

Tôi đoán Planar Perfect Match đã bỏ lỡ trong danh sách này.

• $\mathsf{NC}$
• $\mathsf{NC}$ và Mulmuley-Vazirani-Vazirani / Karp-Upfal-Wigderson , tương ứng.

Chúng ta hãy làm tăng sự phức tạp một chút.

Nhiều vấn đề quyết định về các hệ thống bổ sung véc tơ (VAS) đã hoàn tất EXPSPACE, nhưng có thể yêu cầu các nhân chứng lớn hơn nhiều. Chẳng hạn, việc quyết định liệu ngôn ngữ của VAS có thường xuyên là hoàn chỉnh EXPSPACE hay không (ví dụ Blockelet & Schmitz, 2011 ), nhưng máy tự động trạng thái hữu hạn tương đương nhỏ nhất có thể có kích cỡ Ackermannian ( Valk & Vidal-Naquet, 1981 ). Giải thích đằng sau khoảng cách lớn này là tồn tại những nhân chứng nhỏ hơn về sự bất thường .