Các thuật toán chính xác theo thời gian hàm mũ cho lập trình 0-1

Có thuật toán nào được biết cho vấn đề sau đánh bại thuật toán ngây thơ không?

Đầu vào: Một hệ thống của bất đẳng thức tuyến tính.$Ax \le b$$m$

Đầu ra: Một giải pháp khả thi nếu có.$x^*\in \{0,1 \}^n$

Giả sử rằng và có các mục nguyên. Tôi quan tâm đến giới hạn trường hợp xấu nhất.$A$$b$

Nếu là siêu tuyến, thuật toán như vậy sẽ bác bỏ Giả thuyết Thời gian theo hàm mũ mạnh, vì các công thức ở dạng bình thường kết hợp là một trường hợp đặc biệt của lập trình 0-1 và Bổ đề Sparsifying cho phép chúng ta giảm -SAT thành CNF-SAT trên nhiều mệnh đề tuyến tính .$m$$k$

Tuy nhiên, có một thuật toán do Impagliazzo, Paturi và bản thân tôi có thể giải quyết một hệ bất phương trình như vậy nếu số lượng dây, tức là số hệ số khác không trong là tuyến tính. Cụ thể, nếu số lượng dây là , thuật toán sẽ chạy trong thời gian , trong đó .c n 2 ( 1 - s ) n s = $A$$cn$$2^{(1-s)n}$$s=\frac1{c^{O(c^2)}}$

Nếu đủ nhỏ, bạn có thể làm tốt hơn thuật toán ngây thơ, tức là tốt hơn thời gian 2 n . Ở đây "đủ nhỏ" có nghĩa là m nhỏ hơn một cái gì đó như n / lg n . Thời gian chạy vẫn sẽ theo cấp số nhân - ví dụ: có thể là 2 n / 2 lần - nhưng nó sẽ nhanh hơn thuật toán ngây thơ.$m$$2^n$$m$$n/\lg n$$2^{n/2}$

Ngẫu nhiên, có vẻ như điều này cho phép chúng ta giải quyết vấn đề nhanh hơn trong một số trường hợp ma trận A có số lượng mục siêu tuyến tính. Tôi không biết làm thế nào để bình phương với câu trả lời khác được cung cấp ở đây. Do đó, bạn nên kiểm tra câu trả lời của tôi một cách cẩn thận: nó có thể chỉ ra rằng tôi đã phạm sai lầm nghiêm trọng ở đâu đó.$2^n$$A$

Cách tiếp cận cơ bản: write , trong đó x 0 giữ n / 2 thành phần đầu tiên của x và x 1 giữ n / 2 thành phần cuối cùng ; và tương tự A = ( A 0 , A 1 ) , trong đó A 0 có n / 2 cột bên trái của A và A 1 bên phải $x=(x_0,x_1)$$x_0$$n/2$$x$$x_1$$n/2$$A=(A_0,A_1)$$A_0$$n/2$$A$$A_1$ cột. Bây giờ A x ≤ b có thể được viết lại dưới dạng$n/2$$Ax \le b$

hoặc tương đương,

Liệt kê tất cả khả năng cho A 0 x 0 và để S biểu thị tập hợp các giá trị có thể, nghĩa là$2^{n/2}$$A_0 x_0$$S$

Tương tự, liệt kê tập của tất cả 2 n / 2 khả năng cho b - A 1 x 1 , nghĩa là$T$$2^{n/2}$$b - A_1 x_1$

Bây giờ vấn đề trở thành

Cho các tập có kích thước 2 n / 2 , có tồn tại s ∈ S và t ∈ T sao cho s ≤ t không?$S,T \subseteq \mathbb{Z}^{m}$$2^{n/2}$$s\in S$$t \in T$$s\le t$

(Đây được lấy pointwise, ví dụ, chúng tôi yêu cầu là i ≤ t i cho tất cả i .)$\le$$s_i \le t_i$$i$

Vấn đề thứ hai được thảo luận trên CS.StackExchange và rõ ràng có một thuật toán cho nó chạy trong thời gian . Nếu m đủ nhỏ (giả sử, nhỏ hơn n / lg n ), thì theo đó tổng thời gian chạy sẽ nhỏ hơn 2 n , như mong muốn.$O(2^{n/2} (n/2)^{m-1})$$m$$n/\lg n$$2^n$

Để giúp làm cho kết quả này nghe có vẻ hợp lý hơn, đây là một số trực giác rất thô thiển. Nếu chúng ta lấy trường hợp cực đoan trong đó , tất nhiên điều này có thể được giải quyết nhanh chóng. (Thực sự có một thuật toán đơn giản hơn nhiều cho trường hợp đặc biệt trong đó m = 1 : let x i = 1 nếu A 1 , i ≤ 0 , nếu không thì x i = 0 ; bây giờ nếu có bất kỳ giải pháp khả thi nào, thì x này sẽ là một.)$m=1$$m=1$$x_i=1$$A_{1,i}\le 0$$x_i=0$$x$