Về đồ thị phẳng tổng quát và đồ thị ngoài tổng quát

Bất kỳ mặt phẳng tương ứng, đồ thị ngoài cùng thỏa mãn , tương ứng, , cho mọi sơ đồ con của . Ngoài ra, đồ thị phẳng (bên ngoài) có thể được nhận ra trong thời gian đa thức.| E ′ | ≤ 3 | V ' | - 6 | E ′ | ≤ 2 | V ' | - 3 G ' = ( V ' , E ' ) $G=(V,E)$$|E'|\le 3|V'|-6$
$|E'|\le 2|V'|-3$$G'=(V',E')$$G$

Những gì đã biết về đồ thị sao cho (resp. ) cho mỗi sơ đồ con của ? Có thể nhận ra chúng trong thời gian đa thức?| E ′ | ≤ 3 | V ' | - 6 | E ′ | ≤ 2 | V ' | - 3 G ' = ( V ' , E ' ) $G=(V,E)$$|E'|\le 3|V'|-6$$|E'|\le 2|V'|-3$$G'=(V',E')$$G$

Chỉnh sửa (sau câu trả lời hay của Eppstein): Bất kỳ đồ thị phẳng thỏa mãn cho mọi sơ đồ con của với ít nhất ba đỉnh . Vì vậy, "đồ thị phẳng tổng quát" sẽ là những đồ thị thỏa mãn tính chất này và nhận ra chúng trong thời gian đa thức dường như là một câu hỏi mở (thú vị).| E ′ | ≤ 3 | V ' | - 6 G ' = ( V ' , E ' ) G | V ' | ≥ $G=(V,E)$$|E'|\le 3|V'|-6$$G'=(V',E')$$G$ $|V'|\ge 3$

Trong ký hiệu của Lee và Streinu (trích dẫn bên dưới), lớp thứ hai bạn liệt kê là các biểu đồ (2,3). Họ đưa ra một thuật toán để kiểm tra xem một đồ thị có (k, l) không rõ ràng trong thời gian đa thức. Tuy nhiên, tình huống với đồ thị phẳng và phức tạp hơn một chút, bởi vì bất đẳng thức đó không đúng với tất cả các đỉnh (nếu đúng, không có hai đỉnh nào có thể được kết nối bởi một cạnh, bởi vì ). Vì vậy, lớp của (3,6) đồ thị thưa (theo ký hiệu của chúng) chỉ bao gồm các đồ thị trống. Có lẽ các thuật toán của chúng có thể được mở rộng thành các biểu đồ mà bất đẳng thức giữ cho tất cả các tập hợp nhiều hơn hai đỉnh.3 ⋅ 2 - 6 = $|E'|\le 3|V'|-6$$3\cdot 2-6=0$

Lee, Audrey; Streinu, Ileana (2008), "Thuật toán trò chơi cuội và đồ thị thưa thớt", Toán học rời rạc 308 (8): 1425 Tiết1437, doi: 10.1016 / j.disc.2007.07.104 , arxiv: math / 0702129 .

Những gì được biết về "đồ thị ngoài tổng quát" hoặc (2,3) đồ thị thưa? Một số sự kiện bổ sung cho câu trả lời của DavidEppstein:

Năm 1982, trong bài báo này (Hệ quả 1 và 2), Lovász và Yemini đã mô tả các đồ thị ngoài cùng tổng quát (theo ký hiệu của chúng, các đồ thị độc lập chung ) khi các đồ thị có tính chất nhân đôi bất kỳ cạnh trong một đồ thị là cạnh -disjoint liên hiệp của hai khu rừng.$G$$G$

Trước đây, vào năm 1970, Henneberg và Laman đã chứng minh rằng đồ thị ngoài cùng tổng quát có thể được lấy theo cách đệ quy từ bằng ba bước gọi là Henneberg (thêm đỉnh 1, thêm đỉnh 2 độ và thêm một mức độ nhất định -3 đỉnh).$K_2$

Các đặc tính này đưa ra các nhận dạng đa thức đầu tiên cho các đồ thị ngoài cùng tổng quát.

Một số nhận xét liên quan đến đồ thị phẳng tổng quát có thể được tìm thấy trong phần cuối của bài viết này . Tôi nghĩ rằng, đặc trưng và nhận ra các đồ thị phẳng tổng quát vẫn là những câu hỏi mở rất thú vị.