Mối tương quan giữa độ cứng treewidth và độ cứng của 3-SAT ngẫu nhiên là gì?

11

Bài báo gần đây từ FOCS2013, Strong Backreen to Bounded Treecreen SAT của Gaspers và Szeider nói về mối liên hệ giữa treewidth của biểu đồ mệnh đề SAT và độ cứng của thể hiện.

Đối với các trường hợp 3-SAT ngẫu nhiên, tức là các trường hợp 3-SAT được chọn ngẫu nhiên, mối tương quan giữa treewidth của biểu đồ mệnh đề và độ cứng của thể hiện là gì?

"Độ cứng sơ thẩm" có thể được coi là "độ cứng đối với người giải SAT thông thường", tức là thời gian chạy.

Tôi đang tìm kiếm câu trả lời hoặc tài liệu tham khảo theo phong cách lý thuyết hoặc thực nghiệm. Theo hiểu biết của tôi, dường như không có nghiên cứu thực nghiệm về điều này. Tôi biết có một số cách khác nhau để xây dựng biểu đồ mệnh đề SAT, nhưng câu hỏi này không tập trung vào sự khác biệt.

Có lẽ một câu hỏi liên quan chặt chẽ tự nhiên là làm thế nào treewidth của biểu đồ mệnh đề liên quan đến quá trình chuyển pha 3-SAT.

— vzn
nguồn

10

Không thực sự là một câu trả lời nhưng các tài liệu tham khảo gần nhất mà tôi biết. Có kết quả có sẵn cho chiều rộng chi nhánh. Ngoài ra, có ít nhất một nghiên cứu thực nghiệm về treewidth của các trường hợp công nghiệp.

Khám phá treewidth , H. Bodlaender, 2005. Đưa ra các thuật toán để tính toán giới hạn trên treewidth.
Độ rộng cây trong các tiêu chuẩn SAT công nghiệp , R. Mateescu, 2011. Sử dụng các biến thể của các thuật toán trên để ước tính điểm chuẩn của cuộc thi SAT2009.
Các thuật toán và kết quả phức tạp cho suy luận #SAT và Bayes , F. Bacchus S. Dalmao, T. Pitassi, 2003. Liên quan đến độ rộng nhánh với độ phức tạp của #SAT, 2003.
Sự hài lòng, độ rộng nhánh và tseitin , Alekhnovich, Razborov, 2002.

— Vijay D
nguồn

7

Nói chung, người ta sẽ không mong đợi các trường hợp SAT ngẫu nhiên có giới hạn treewidth, ngay cả khi chúng dễ dàng. Đây là một ví dụ:

Một ví dụ k-SAT ngẫu nhiên trên biến trong đó mỗi biến xảy ra trong mệnh đề sẽ là một biểu đồ mở rộng và do đó có treewidth với xác suất cao. Điều này giữ trong mô hình nơi chúng ta sửa một n và một m (với 3n = km) và chọn ngẫu nhiên một công thức ngẫu nhiên với n biến và m mệnh đề sao cho tất cả các biến nằm trong đúng 3 mệnh đề. Nó cũng giữ trong mô hình Erdős của Rényi với xác suất được đặt sao cho các biến có mức độ trung bình . $n$ $3$ $\theta(n)$ $3$

Mặt khác, mật độ này thấp hơn nhiều so với giai đoạn chuyển tiếp k-SAT; bởi Lovász Local Bổ đề tất cả các -regular hợp -SAT là satisfiable cho , tức là khi $d$ $k$ $4 \cdot \frac{1}{2^k} \cdot dk \leq 1$ $d \leq \frac{2^k}{4k}$

Đối với phần khác của câu hỏi của bạn, tôi mong đợi (nhưng tôi đã không kiểm tra điều này vì vậy tôi không thực sự biết) rằng người giải SAT sẽ có thể khai thác ít nhất một số đối xứng xảy ra do tất cả các dấu phân cách cân bằng trong đồ thị treewidth giới hạn: Trong trường hợp k-SAT của treewidth có một tập hợp các biến có kích thước để sau khi bạn phân nhánh trên các biến này, công thức chia thành các thành phần được kết nối với ít hơn biến trong mỗi biến. $t$ $t$ $n/2$

— daniello
nguồn

thx cho ý tưởng. ofc không mong đợi rằng các trường hợp ngẫu nhiên sẽ giới hạn treewidth; điều ngược lại có lẽ có thể chứng minh mà không gặp nhiều khó khăn. nhưng đó là một tham số số có thể được so sánh / tương quan với độ cứng tương tự như nhiều tham số khác được nghiên cứu trong nghiên cứu điểm chuyển tiếp theo kinh nghiệm SAT và một số mối quan hệ hoặc tương quan dường như được dự kiến dựa trên nghiên cứu hiện có.

— vzn

@vzn Quan điểm của tôi là nhiều hơn trong các mô hình ngẫu nhiên phổ biến nhất, treewidth đi qua mái nhà trước khi các trường hợp trở nên khó tính toán. Mặt khác, các trường hợp 'đời thực' 'có thể có treewidth nhỏ hơn nhiều so với các trường hợp ngẫu nhiên và tôi kỳ vọng người giải SAT sẽ tận dụng (một số) lợi thế này.

— daniello