Giới hạn dưới về kích thước của các sơ đồ con cảm ứng khoảng thời gian tối đa của đồ thị

Đặt $H$ là một sơ đồ con khoảng thời gian cảm ứng tối đa của đồ thị $G=(V,E)$ . Nếu $n=|V|$Thì số nhỏ nhất là $V(H)$bao nhiêu?

Số lượng nhiều nhất là $3n/4$ xem xét một tập hợp $4$ lỗ khác nhau.

Nó có thể nhỏ hơn không?

Tôi nghĩ rằng câu trả lời là $\Theta(\log n)$ và các giấy tờ chứng minh là tương tự như các bằng chứng Ramsey-lý cổ điển. Một mặt, bạn luôn có một sơ đồ con hoàn chỉnh hoặc trống với nhiều đỉnh này. Mặt khác, một đồ thị ngẫu nhiên sẽ không có sơ đồ con không có cảm ứng lớn $C_4$. Đối với cái sau này, ràng buộc số lượng đồ thị con cảm ứng trên các đỉnh $t$ bằng $n^t$ và với mỗi ràng buộc xác suất là $C_4$ -free bởi $c^{t^2}$ trong đó $c<1$ là một hằng số. Này, chúng ta có thể làm được vì một đồ thị đầy đủ trên $t$ đỉnh chứa $\Omega(t^2)$ biệt$K_4$ 's.

Chi tiết hơn, chia cạnh có thể cho bất kỳ đỉnh t nào thành \ Omega (t ^ 2) tách rời các cụm của bốn đỉnh. Trong bất kỳ cụm bốn đỉnh như vậy, xác suất các cạnh giữa chúng sẽ không tạo thành C_4 là một số p <1 không đổi . Do đó, xác suất sẽ không có C_4 trong bất kỳ nhóm nào là p ^ {\ Omega (t ^ 2)} . Đây rõ ràng là một giới hạn trên cho biểu đồ ngẫu nhiên là C_4 -free .$t\choose 2$$t$$\Omega(t^2)$$C_4$$p<1$$C_4$$p^{\Omega(t^2)}$$C_4$

Chúng ta có thể làm ; hãy xem xét biểu đồ -partite hoàn chỉnh, miễn là có hai bên có nhiều hơn một nút bên trong có cảm ứng , vì vậy nó không thể là nội dung. Do đó, chúng tôi phải xóa ít nhất nút để hủy tất cả các cảm ứng .$2\sqrt{n}-1$$\sqrt{n}$$C_4$$(\sqrt{n}-1)^2 = n - 2\sqrt{n} + 1$$C_4$