Độ cứng của một lớp con của Set Cover

Vấn đề Set Cover khó đến mức nào nếu số lượng phần tử bị giới hạn bởi một số chức năng (ví dụ: ) trong đó n là kích thước của thể hiện vấn đề. Chính thức$\log n$$n$

Hãy và F = { S 1 , ⋯ , S n } nơi S i ⊆ U và m = O ( log n ) . Làm thế nào là khó khăn để quyết định vấn đề sau đây$\mathcal{U}=\{e_1, \cdots, e_m\}$$\mathcal{F} = \{S_1, \cdots, S_n\}$$S_i \subseteq \mathcal{U}$$m = O(\log n)$

Điều gì nếu ?$m=O(\sqrt{n})$

Bất kỳ kết quả nào dựa trên các phỏng đoán nổi tiếng (ví dụ: Trò chơi độc đáo, ETH) đều tốt.

Chỉnh sửa 1: Một động lực cho vấn đề này là tìm ra khi vấn đề trở nên khó khăn khi tăng lên. Rõ ràng, vấn đề nằm ở P nếu m = O ( 1 ) và NP-hard nếu m = O ( n ) . Ngưỡng cho độ cứng NP của vấn đề là gì?$m$$m=O(1)$$m=O(n)$

Chỉnh sửa 2: Tồn tại một thuật toán tầm thường để quyết định nó trong thời gian (liệt kê tất cả các tập hợp con có kích thước m của F ). Do đó, vấn đề không phải là NP-hard nếu m = O ( log n ) vì ETH ngụ ý rằng không có thuật toán trong thời gian O ( 2 n o ( 1 ) ) cho bất kỳ vấn đề NP-hard nào (trong đó n là kích thước của Bài toán NP-hard).$O(n^{m})$$m$$\mathcal{F}$$m=O(\log{n})$$O(2^{n^{o(1)}})$$n$

Khi , bạn có thể sử dụng lập trình động để tìm tối ưu trong thời gian đa thức. Bảng này chứa các tế bào Boolean có giá trị T ℓ , X cho mỗi ℓ ∈ { 0 , ... , k } và X ⊆ U , cho thấy liệu có ℓ bộ trong đó bao gồm các yếu tố trong X .$m = O(\log n)$$T_{\ell,X}$$\ell \in \{0,\ldots,k\}$$X \subseteq \mathcal{U}$$\ell$$X$

Khi , nóim≤C$m = O(\sqrt{n})$ , vấn đề vẫn là NP-hard. Với một thể hiện của SET-COVER, addmyếu tố mớix1,...,xmvà(2C - 1 m)2bộ mới, bao gồm các tập con không rỗng trong những yếu tố mới, bao gồm{x1,...,xm}(khimđủ lớn,(2C - 1 m)2<2m). Cũng tăng$m \leq C\sqrt{n}$$m$$x_1,\ldots,x_m$$(2C^{-1}m)^2$$\{x_1,\ldots,x_m\}$$m$$(2C^{-1}m)^2 < 2^m$$k$bởi một. Mới là m ' = 2 m và n ' = n + ( 2 C - 1 m ) 2 ≥ ( C - 1 m ' ) 2 .$m,n$$m' = 2m$$n' = n + (2C^{-1}m)^2 \geq (C^{-1}m')^2$

Trường hợp là trong thời gian n O ( c ) như Yuval đã lưu ý, nhưng cũng lưu ý cho k = O ( 1 ) bạn có thể giải quyết vấn đề trong thời gian O ( n k ⋅ m ) (thời gian đa thức) tìm kiếm đầy đủ. Giả sử giả thuyết thời gian theo hàm mũ mạnh mẽ (rằng CNF-SAT trên các công thức có N biến và mệnh đề O ( N ) cần ít nhất 2 N - o ( N $m = c \log n$$n^{O(c)}$$k = O(1)$$O(n^k \cdot m)$$N$$O(N)$$2^{N-o(N)}$thời gian), hai giới hạn thời gian này là "giới hạn" của những gì chúng ta có thể mong đợi trong thời gian đa thức, theo nghĩa sau.

Trong bài báo SODA'10 của tôi với Mihai Patrascu, chúng tôi nghiên cứu vấn đề cơ bản về hình học của việc tìm một tập hợp kích thước trong một đồ thị n -ode tùy ý , cho thấy rằng nếu tập hợp k -dominating có thể được giải quyết trong n k - ε thời gian cho một số k ≥ 2 và ε > 0 , sau đó có một 2 N ( 1 - ε / 2 ) p o l y ( M ) thuật toán thời gian cho CNF-SAT trên N biến và $k$$n$$k$$n^{k-\varepsilon}$$k \geq 2$$\varepsilon > 0$$2^{N(1-\varepsilon/2)}poly(M)$$N$$M$ điều khoản.

Lưu ý mối quan hệ giữa các vùng lân cận trong một thể hiện tập hợp thống trị và đặt trong một thể hiện bìa tập hợp và kiểm tra mức giảm, bạn sẽ thấy rằng phần giảm này cũng cho thấy việc giải quyết Set Cover với n tập hợp trên một vũ trụ có kích thước m trong n k - ε ⋅ f ( m ) thời gian ngụ ý một thuật toán CNF-SAT cho công thức với CNF M khoản và N biến chạy trong 2 N ( 1 - ε / 2 ) ⋅ f ( M $k$$n$$m$$n^{k-\varepsilon}\cdot f(m)$$M$$N$$2^{N(1-\varepsilon/2)}\cdot f(M)$thời gian. Với mục đích bác bỏ ETH mạnh, nó đủ để giải quyết CNF-SAT trong trường hợp . Do đó một thuật toán cho vấn đề của bạn đang chạy trong n k - ε ⋅ 2 m / α ( m ) thời gian đối với một số chức năng không giới hạn α ( m ) sẽ mang lại một thuật toán SAT mới đáng ngạc nhiên.$M = O(N)$$n^{k-\varepsilon}\cdot 2^{m/\alpha(m)}$$\alpha(m)$