Các ứng dụng phức tạp Kolmogorov trong Lý thuyết số

Các ứng dụng của Kolmogorov Độ phức tạp trong Lý thuyết số và trên các lĩnh vực liên quan đến bằng chứng là gì? (Chuyên khảo của Li & Vitanyi không có nhiều ứng dụng liên quan đến Lý thuyết số.)

Một trong những bằng chứng tốt đẹp mà tôi đã gặp là bằng chứng về sự tồn tại của vô số số nguyên tố, sử dụng định nghĩa về Độ phức tạp Kolmogorov và hệ số nén.

Ngoài ra, tầm quan trọng của Độ phức tạp Kolmogorov trong Mật mã học là gì?

— Subhaya
nguồn

Bạn có thể vui lòng chỉ cho tôi hướng tới sự phức tạp dựa trên Kolmogoroff dựa trên bằng chứng về sự vô hạn của các số nguyên tố không?

— Martin Berger

@MartinBerger: xem cuốn sách Li và Vitanyi, hoặc ghi chú

— Marzio De Biasi

được rồi, điều này hơi khó xử, nhưng tôi dường như không thể nhớ lại nơi tôi đã đi qua nó, bằng chứng sẽ diễn ra như thế này .. giả sử bạn chọn một inf. bộ mà là tích cực và , . Bây giờ với mục đích mâu thuẫn, giả sử chỉ có một số số nguyên tố hữu hạn, .

S = = n_{1}, n_{2}, . . .

$S = {n_1,n_2,...}$

n

$n$

K (n) \geq \frac{l o g_{2} n}{2}

$K(n) \geq \frac{log_2 n}{2}$

\forall n \in S

$\forall n \in S$

p_{1} . . . p_{m}

${p_1...p_m}$

— Subhaya

[contd] Vì vậy, bây giờ chúng ta có thể biểu diễn bất kỳnàodưới dạng. Vì chúng tôi giả định rằng chỉ có nhiều () số nguyên tố, nên chúng có một biểu diễn cố định. Vì vậy,chỉ phụ thuộc vàos .. vì vậy để tổng hợp nó,... mà có thể tối đa là một số... nhưng sau đó chúng tôi tuyên bố. Do đó) điều này ngụ ý rằngnhưng điều này chỉ đúng với số lượng hữu hạn của

n_{i}

$n_i$

Σ_{j = 1}^{m} p_{j}^{v_{i, j}}

$\Sigma_{j=1}^{m}p_j^{v_{i,j}}$

m

$m$

K (n_{i})

$K(n_i)$

v_{i, j}

$v_{i,j}$

K (n_{i}) = c o n s t + Σ_{j = 1}^{m} l o g_{2} (v_{i, j} + 1)

$K(n_i) = const + \Sigma_{j=1}^{m}\ log_2(v_{i,j}+1)$

c o n s t + m . l o g_{2} l o g_{2} n_{i}

$const + m.log_2log_2n_{i}$

K (n) \geq \frac{l o g_{2} n}{2}

$K(n) \geq \frac{log_2 n}{2}$

\forall n \in S

$\forall n \in S$

\frac{l o g_{2} n_{i}}{2} \leq m . l o g_{2} l o g_{2} n_{i}

$\frac{log_2 n_i}{2} \leq m.log_2log_2n_{i}$

n_{i}

$n_i$ . Do đó, chúng tôi đi đến một mâu thuẫn

— Subhaya

Tôi thích ví dụ NT thứ hai từ ghi chú của Lance: rằng số nguyên tố thứ nhiều nhất là . Đây là một bản ghi của định lý số nguyên tố, và bằng chứng dễ như bằng chứng về sự vô hạn của các số nguyên tố thông qua độ phức tạp của K.

k

$k$

p_{k}

$p_k$

p_{k} \leq k \log^{2} k

$p_k \leq k\log^2 k$

— Sasho Nikolov

Câu trả lời:

Mỗi số nguyên có độ phức tạp Kolmogorov liên quan; chương trình ngắn nhất in số nguyên đó.

Có số nguyên tố lên đếnnên các số nguyên tố có độ phức tạp Kolmogrov thấp hơn so với vật liệu tổng hợp trung bình; $\approx {x \over ln(x)}$ $x$ so với . $\approx ln({x \over ln(x)})$ $\approx ln(x)$

Là một tác dụng phụ, bạn phải có một số khoảng cách lớn giữa các số nguyên tố; nếu không, bạn có thể mã hóa mọi số như số nguyên tố trước cộng với một số bit nhỏ.

— Nhà sản xuất bia Chad
nguồn

Có những khoảng trống lớn giữa các số nguyên tố vì định lý số nguyên tố, tôi không nghĩ bạn cần thêm độ phức tạp Kolmogorov trong hỗn hợp để chỉ ra điều đó.

— Sasho Nikolov

Lý thuyết số nói chung liên quan đến các phương trình số nguyên, mặc dù lưu ý các trạng thái wikipedia , rộng hơn, một phân nhóm của lý thuyết số là xấp xỉ các số thực bằng các số hữu tỷ và mối quan hệ giữa chúng: "Người ta cũng có thể nghiên cứu các số thực liên quan đến các số hữu tỷ, ví dụ: như gần đúng bởi cái sau ( xấp xỉ Diophantine ). "

Đây là hai bài báo nói chung dọc theo những dòng đó:

Độ phức tạp Kolmogorov của số thực Ludwig Staiger
Một đặc tính của ce real real Cristian S. Calude

— vzn
nguồn

Phần nào của độ phức tạp Komolgorov không thể áp dụng cho phương trình số nguyên? Mặc dù sự thật là chủ đề thường quan tâm đến vô hạn, nhưng lý thuyết số cũng có thể (ví dụ, phương trình diophantine, v.v.) và tất nhiên có nhiều phiên bản KC giới hạn tài nguyên khác nhau có thể có liên quan, v.v. không chắc chắn 'Lý thuyết số thường liên quan đến phương trình số nguyên' có liên quan gì đến việc có ứng dụng KC cho chủ đề hay không.

— Steven Stadnicki

vấn đề là trong một tìm kiếm trực tuyến đáng chú ý, tôi đã không tìm thấy các ref liên quan trực tiếp đến KC với lý thuyết số, nhưng có một số liên quan đến việc phân tích các xấp xỉ thực và gần đúng theo lý thuyết số.

— vzn

vâng, tôi cũng đã cố gắng tìm kiếm các ứng dụng của KC trong lý thuyết số, tuy nhiên tôi không thể tìm thấy gì, bây giờ KC dường như là một cách hay để giải quyết một số vấn đề trong lý thuyết số .. phải có một số bằng chứng cơ bản (ứng dụng) đây ..

— Subhaya

-2

thử tham khảo này

Từ định lý của Kolmogorov về phân phối theo kinh nghiệm đến lý thuyết số , Kevin Ford, cũng ở đây .

Chúng tôi mô tả một số ước tính mới cho tính xác thực rằng hàm phân phối theo kinh nghiệm nằm ở một phía của một dòng nhất định và đưa ra các ứng dụng cho lý thuyết số.

phác họa một kết nối / cầu nối khái niệm cơ bản khác trong mật mã. liên quan đến entropy của một nguồn thông tin. entropy được sử dụng nhiều trong mật mã như là một thước đo liên quan đến tính ngẫu nhiên, ví dụ, xem một số khái niệm về Entropy cho mật mã của Reyzin. $K(x)$
$K(x)$ $K(x)$ đồng thời là biện pháp nghiêm ngặt nhất của entropy và đồng thời cũng khó hiểu nhất, với các biện pháp entropy khác tại các điểm "dễ dàng" khác trong sự liên tục trao đổi nghiêm ngặt rõ ràng và khó kiểm soát này.

— vzn
nguồn

-1: Định lý Kolmogorov trong tài liệu tham khảo đầu tiên không liên quan đến độ phức tạp Kolmogorov. Đó là một kết quả nổi tiếng về sự hội tụ của chức năng phân phối theo kinh nghiệm của các mẫu IID với CDF.

— Sasho Nikolov

đồng ý ở điểm đó, oops = (

— vzn