Độ cứng của các hàm Boolean ồn ào

Đặt là hàm Boolean của biến Boolean. Đặt là giá trị mong đợi của khi thu được từ bằng cách lật từng tọa độ với xác suất .n g ( x ) = T ϵ ( f ) ( x ) f ( y ) y x ϵ /$f$$n$$g(x)=T_\epsilon (f) (x)$$f(y)$$y$$x$$\epsilon/2$

Tôi quan tâm đến các trường hợp khó tính gần đúng . Hãy để tôi sửa một khái niệm "xấp xỉ" (nhưng có thể có một số khác): Hàm Boolean xấp xỉ nếu khi và khi . Một đối số đếm (dựa trên sự tồn tại của mã sửa lỗi tỷ lệ dương) dường như cho rằng có các hàm Boolean mà bất kỳ phép tính gần đúng nào cũng yêu cầu mạch kích thước theo cấp số nhân. Nhưng câu hỏi là điều gì xảy ra khi bắt đầu ở NP hoặc trong vùng lân cận của nó.h g h ( x ) = 1 g ( x ) ≥ 0,9 h ( x ) = 0 g ( x ) ≤ 0,1 $g$$h$$g$$h(x)=1$$g(x)\ge 0.9$$h(x)=0$$g(x)\le 0.1$$f$

Câu 1: Có một ví dụ về được mô tả bởi mạch NP (hoặc không gian P) sao cho mọi là NP cứng, hoặc cứng theo nghĩa nào đó yếu hơn.$f$$h$

Để thấy rằng có thể không phải luôn luôn dễ dàng (Tôi cảm ơn Johan Hastad để thảo luận hữu ích về nó), chúng tôi có thể xem xét tài sản của đồ thị của việc có một phe nhóm kích thước , cho đầu vào ngẫu nhiên, có thể hiểu rằng nó rất khó để phát hiện nếu có một cụm lớn nhưng điều này được thể hiện bằng cách có nhiều hơn các cụm sao dự kiến ​​có kích thước log n trong biểu đồ nhiễu. Trong trường hợp này, bất kỳ sẽ có khả năng khó (nhưng không thể chứng minh được, và không quá khó vì các mạch đa thức sẽ được nói).n 1 / 4$h$$n^{1/4}$$h$

Câu 2: Tình huống nếu bắt đầu bằng có độ phức tạp thấp. ( , đơn điệu , , v.v.)A C 0 T C 0 A C $f$$AC^0$$TC^0$$ACC$

Câu 3: Tình huống nào cho một số ví dụ cơ bản về các hàm Boolean. (Câu hỏi cũng có thể được mở rộng thành hàm có giá trị thực.)

Câu 4: Câu hỏi trên có thể được hỏi chính thức cho mô hình tính toán thống nhất (Turing-machine) không?

Cập nhật: Theo quan điểm của Andy (Xin chào, Andy) Tôi nghĩ rằng câu hỏi thú vị nhất là tìm hiểu tình huống cho các chức năng cụ thể khác nhau.

Cập nhật một câu hỏi khác Câu 5 [Q1 cho các chức năng đơn điệu] (cũng theo quan điểm của câu trả lời của Andy). Tình huống nếu là đơn điệu là gì? Chúng ta vẫn có thể mã hóa mạnh mẽ một câu hỏi NP hoàn chỉnh>$f$

cho Câu hỏi 1, câu trả lời là Có và có thể được hiển thị như sau. (Tôi cũng sẽ hoàn toàn phác thảo một câu trả lời khẳng định cho Q4, vì đối số là thống nhất và sẽ xử lý tất cả độ dài đầu vào cùng một lúc.)

Khắc phục mọi ngôn ngữ hoàn chỉnh NP và một nhóm mã sửa lỗi nhị phân tốt (với tỷ lệ 1/4 và sửa từ một phần .1 lỗi, giả sử). Đặt là hàm mã hóa cho độ dài ; chúng tôi sử dụng một số mã như vậy trong đó có thể tính toán được bằng thuật toán thời gian đa thức thống nhất.E n c n : { 0 , 1 } n → { 0 , 1 } 4 n$L$$Enc_n: \{0, 1\}^n \rightarrow \{0, 1\}^{4n}$$n$$Enc = \{Enc_n\}$

Xác định là tập hợp các chuỗi nằm trong khoảng cách tối đatừ một từ mã mã hóa một số yếu tố của . Lưu ý rằng là trong NP, như bạn có thể đoán và kiểm tra từ mã gần đó, từ giải mã, và giấy chứng nhận NP cho thành viên từ giải mã trong . L L ′$L'$.05 | z | y ∈ E n c ( L $z$$.05 |z|$$y \in Enc(L)$$L$$L'$$L$

Sau đó, yêu cầu là bất kỳ "xấp xỉ" nào của theo nghĩa của bạn là NP-hard cho . Vì nếu chúng ta xem xét một từ mã hợp lệ có độ dài , thì với xác suất so với phiên bản ngẫu nhiên của , nó sẽ không đồng ý với trong tối đa a. 05 phần tọa độ và do đó sẽ không đồng ý với bất kỳ loại tiền mã hóa nào khác của trong hơn phần của các hợp đồng. Ví như chúng ta có khi và chỉ khi . Vì vậy, nếu ε = .01 y = E n c ( x ) 4 n 1 - o ( 1 ) ε y ′ y h ε L ′ h ( y ) = L ( x ) E n c L h $L'$$\varepsilon = .01$$y = Enc(x)$$4n$$1 - o(1)$$\varepsilon$$y'$$y$E n c n .05 y ' y ' ∈ L ' x ∈ $y$$Enc_n$$.05$$y'$$y' \in L'$$x \in L$$h$là bất kỳ xấp xỉ nào với phiên bản -smoothed của theo nghĩa của bạn, thì chúng ta phải có . Vì có thể tính toán một cách hiệu quả, điều này cho chúng ta một cách hiệu quả để giảm các câu hỏi thành viên cho thành câu hỏi cho . Vậy là NP-cứng.$\varepsilon$$L'$$h(y) = L(x)$$Enc$$L$$h$$h$

Hai lưu ý:

(1) mã hóa sửa lỗi của các thể hiện NP đã được sử dụng trước đây trong một số bài báo, đáng chú ý là
D. Sivakumar: Trên các bộ so sánh thành viên. J. Tính toán. Hệ thống. Khoa học. 59 (2): 270-280 (1999).

(2) đối số ở trên tất nhiên không nói gì về độ phức tạp của trường hợp trung bình của bất kỳ vấn đề NP nào, vì việc sửa lỗi đang được áp dụng trên cơ sở từng trường hợp.