Một vấn đề đơn giản mà tính quyết định không được biết đến

Tôi đang chuẩn bị cho một cuộc nói chuyện nhằm vào các chuyên ngành toán học đại học, và như một phần của nó, tôi đang xem xét thảo luận về khái niệm về tính quyết định. Tôi muốn đưa ra một ví dụ về một vấn đề mà hiện tại chúng ta không biết là có thể quyết định hoặc không thể giải quyết được. Có rất nhiều vấn đề như vậy, nhưng dường như không có vấn đề nào nổi bật như những ví dụ hay cho đến nay.

Một vấn đề đơn giản để mô tả mà tính quyết định của nó là mở?

Các vấn đề Matrix tử vong cho ma trận 2x2. Tức là, được đưa ra một danh sách hữu hạn gồm các ma trận số nguyên 2x2 M ₁ , ..., M _k , liệu M _i có thể được nhân theo bất kỳ thứ tự nào (với nhiều lần lặp lại tùy ý) để tạo ra ma trận all-0 không?

(Trường hợp 3x3 được biết là không thể giải quyết được. Dĩ nhiên, trường hợp 1x1 là có thể quyết định được.)

CẬP NHẬT: Vấn đề tôi đề cập ở đây bây giờ được biết là không thể giải quyết được! http://arxiv.org/abs/1605.05274 Hơn nữa, bài báo đã được truyền cảm hứng bằng cách đọc chính câu trả lời này. :)

Các lập trình viên trong đối tượng chính toán học của bạn có thể ngạc nhiên khi biết rằng câu hỏi "loại này có thể chuyển đổi hoàn toàn sang loại đó không?" không được biết là có thể quyết định trong bất kỳ Java 5, C # 4 và Scala 2 nào.

Để biết thêm chi tiết, hãy xem bài viết "Về tính quyết định của phân nhóm danh nghĩa với phương sai" của Andrew Kennedy và Benjamin Pierce . Bài viết đưa ra một số ví dụ về các hạn chế bổ sung đối với các hệ thống loại của các ngôn ngữ này, theo đó phân nhóm danh nghĩa được biết là có thể quyết định hoặc được biết là không thể giải quyết được.

Thật thú vị, bài báo đã được viết tốt trước khi hiệp phương sai và chống chỉ định chung được thêm vào C #, nhưng các tác giả đã dự đoán chính xác hướng mà ngôn ngữ đang hướng tới. (Điều này không có gì đáng ngạc nhiên; các tác giả đã thiết kế hỗ trợ cơ bản cho phương sai trong CLR mà tôi đã tận dụng khi thêm phương sai vào C #! Họ đã thực hiện một công việc nặng nề.)

Vấn đề thứ mười của Hilbert về các lý do: "Phương trình đa thức này có giải pháp hợp lý không?"

Vấn đề cho một sự tái phát tuyến tính cùng với các giá trị ban đầu của nó, nó có lấy giá trị 0 không?

Hai tài liệu tham khảo:

http://terrytao.wordpress.com/2007/05/25/open-question-effective-skolem-mahler-lech-theorem/

http://www.cs.ox.ac.uk/joel.ouaknine/publications/poseergy12.pdf

Một vấn đề đơn giản mà khả năng quyết định không xác định là như sau (tôi nghĩ nó vẫn đang mở):

Cờ vua vô hạn :

$Z \times Z$

$n$$n$

Một vấn đề đơn giản khác là hành vi của kiến Langton đối với cấu hình ban đầu hữu hạn.

Hành vi kiến ​​của Langton với sự hỗ trợ hữu hạn :

Hình vuông trên một mặt phẳng được tô màu khác nhau hoặc đen hoặc trắng. Chúng tôi tùy ý xác định một hình vuông là "con kiến". Con kiến ​​có thể di chuyển theo bất kỳ hướng nào trong bốn hướng hồng y ở mỗi bước cần thiết. Con kiến ​​di chuyển theo các quy tắc dưới đây:

• Tại hình vuông màu trắng, xoay phải 90 °, lật màu của hình vuông, di chuyển về phía trước một đơn vị
• Tại hình vuông màu đen, xoay trái 90 °, lật màu của hình vuông, di chuyển về phía trước một đơn vị

Đầu vào : một cấu hình hữu hạn (đen / trắng) của mặt phẳng và vị trí con kiến;
Câu hỏi : Có phải con kiến ​​luôn kết thúc việc xây dựng một "đường cao tốc" vô tận định kỳ?

Để được hỗ trợ vô hạn, vấn đề là không thể giải quyết được, xem: A. Gajardo, A. Moreira và E. Goles, Độ phức tạp của kiến ​​Langton

Vấn đề Collatz là vấn đề đơn giản để mô tả có tính quyết định được mở. Nó liên quan đến sự tái phát đơn giản của các phép toán số học cơ bản.

$f(n)=\mathsf{\{}$ $n/2$$3n+1$

$n_0$

Thật thú vị, một khái quát của vấn đề Collatz đã được chứng minh là không thể giải quyết được.

Người giới thiệu:

1- VẤN ĐỀ KHÔNG THỂ KIẾM: MỘT SAMPLER , POONEN

2- Weisstein, Eric W. "Vấn đề Collatz." Từ MathWorld - Tài nguyên web Wolfram.

3- Vấn đề 3X + 1: Tổng quan , Jeffrey C. Lagarias

Không biết có thể quyết định được hay không để xác định xem một hình dạng nhất định có thể xếp mặt phẳng hay không .

Khả năng quyết định của ngăn chặn truy vấn kết hợp đã được mở trong hơn hai mươi năm. Giải quyết điều này sẽ là một bước đột phá trong lý thuyết cơ sở dữ liệu.

$Q_1$$Q_2$$Q_1$$I$$Q_2$$I$

Trong các truy vấn kết hợp, người ta sử dụng AND để liên kết với nhau các vị từ được định lượng. Theo thuật ngữ SQL, các truy vấn kết hợp là các truy vấn CHỌN-TỪ-WHERE sử dụng "=" và "AND" nhưng không có truy vấn con hoặc tổng hợp. Đây có lẽ là loại truy vấn cơ sở dữ liệu phổ biến nhất và bao gồm hầu hết các truy vấn của công cụ tìm kiếm.

$I$$Q_1$$Q_2$

$\ne$

$(N,+,\times)$$(N,+,\times)$

Để biết các gợi ý về tài liệu bao quát và cách đối xử nghiêm ngặt, hãy xem một bài báo ToDS (trên báo chí) của một số người.

$Q$$R$$Q$$Q \text{ AND } R$$Q$

Bài toán tương ứng của Post với số lượng gạch cố định trong khoảng từ 3 đến 6.

Mặc dù nó không thực sự đơn giản để mô tả, nhưng nó có một mô tả rất "vui tươi", và tôi thấy nó phù hợp cho các cuộc đàm phán cấp trực giác.

Vấn đề về chiều cao của ngôi sao được khái quát hóa: "Tôi cần bao nhiêu cách để tạo ra ngôn ngữ thông thường này, với một biểu thức chính quy có bổ sung được phép?"

Chúng tôi thậm chí không biết liệu thuật toán luôn trả về 1 (ngoại trừ 0 cho các ngôn ngữ không có sao, đây là trường hợp có thể quyết định) có đúng không.

Một vấn đề từ Lý thuyết Automata.

$D$

$x$$D$$x$$x$$L(D) \cap Primes$

Nhận xét: Ban đầu tôi đã nghe vấn đề này từ câu trả lời stackexchange của Jeffrey Shallit. Nếu bạn biết bất kỳ tài liệu tham khảo nào về nó, xin vui lòng cho tôi biết. Cảm ơn bạn!

Bài viết liên quan:

(1) Có bất kỳ vấn đề mở nào còn lại về DFA không?

(2) https://cs.stackexchange.com/questions/48084/determining-if-infinite-binary-lingu-dfas-contain-at-least-1-prime

Công việc liên quan: https://cs.uwaterloo.ca/~shallit/Papers/br10.pdf

"Các yếu tố tối thiểu cho các số nguyên tố" của C. Bright, R. Devillers và J. Shallit

Bản đồ lặp trên khoảng (mô tả từ đây ):

(rất liên quan đến vấn đề do Magnus Find đề xuất)

$F$$x$$x$$x$$F(x)$$F(F(x))$$F$$x$$F$

$F$$x$$y$$x$$y$

$F$

$F$$x$$y$$x$$F$

Một tài liệu tham khảo: Asarin 2011 .

dường như có một cách / góc khá tự nhiên để nghiên cứu câu hỏi này được sử dụng trong ít nhất 3 bài báo như sau.

$TM(k,l)$$k$$l$$k,l$$k,l$

kết quả có thể được hiển thị trên một lưới như trong một số giới thiệu sau. cũng trong khu vực trung gian, thực tế người ta biết rằng một số máy (chưa được giải quyết) có khả năng mô phỏng phỏng đoán Collatz cho một số đầu vào.

do đó, rõ ràng có một "điểm chuyển tiếp" giống như các hiện tượng hoạt động ở đây nhưng không nằm trong một khu vực tính toán mà theo một nghĩa khác thường giữa tính toán và không thể tính toán được.

• Máy Turing nhỏ và cuộc thi hải ly bận rộn tổng quát Michel

• Sự phức tạp của các máy Turing phổ dụng nhỏ: khảo sát Rừng, Cận cảnh

• Trên ranh giới của khả năng thanh toán và không thể giải quyết trong các hệ thống thẻ. Kết quả lý thuyết và thực nghiệm De Mol

$2^8$

cũng như một ví dụ về "gần bỏ lỡ" hoặc "câu hỏi mở tương đối được giải quyết gần đây khi hoàn thành TM", cỗ máy Wolfram 2,3 đã được chứng minh phổ biến vào năm 2007 với giải thưởng $ 25K . cuộc thi được công bố vào tháng 5 năm 2007 và cuộc thi đã công bố người chiến thắng Smith vào tháng 10 năm 2007 .

có một cách khá tự nhiên để ánh xạ hầu hết các vấn đề mở vào các câu hỏi về tính không thể quyết định. hầu hết các vấn đề mở thường không được chứng minh là có thể chứng minh được hoặc không thể chứng minh được.

trên trang web có một số nhầm lẫn không chính thức về tính không ổn định của vấn đề P vs NP , đây không phải là vấn đề quyết định, do đó để nói về tính không ổn định của nó là không chính xác về mặt kỹ thuật. nhưng mặt khác, dường như có một mối liên kết chặt chẽ / tự nhiên giữa tính không ổn định và khả năng chứng minh như sau.

ví dụ xem xét

$L$$x$$O(n^x)$

ngôn ngữ này có thể quyết định? đó là một câu hỏi về một ngôn ngữ với khả năng mở có thể quyết định của nó về cơ bản được liên kết chặt chẽ (thậm chí, gần như giống hệt nhau) với vấn đề P vs NP và khả năng chứng minh (un?) vốn có của nó.

đối với P vs NP là "đơn giản để mô tả", nó chỉ yêu cầu các khái niệm về TM , ký hiệu thời gian chạy Big O , chủ nghĩa không điều kiện khá đơn giản (một số khái niệm cơ bản nhất về TCS) và được dạy ở cấp đại học hoặc được tặng học sinh trung học có thể hiểu.

trên thực tế NP vs P / Poly cũng mở và có thể được ánh xạ vào một câu hỏi mở về tính quyết định theo cách tương tự, và điều này có thể được coi là một vấn đề khá đơn giản về sự tăng trưởng của các mạch tối thiểu (đơn điệu?) để nhận ra NP hoàn chỉnh vấn đề (ví dụ như clique).