Vấn đề mở lâu đời nhất trong TCS là gì?

Vấn đề này được lấy cảm hứng từ câu hỏi MO này , mà tôi nghĩ là rất thú vị.

Vấn đề mở lâu đời nhất trong TCS là gì?

Rõ ràng câu hỏi này cần một số làm rõ.

Đầu tiên, TCS là gì? Tôi nghĩ rằng sự tồn tại của số hoàn hảo kỳ lạ không phải là TCS. Tôi muốn nói rằng vấn đề thứ mười của Hilbert là TCS. Tôi nghĩ các vấn đề như "Chúng ta có thể xây dựng X bằng thước và compa không" cũng là TCS, vì họ đang yêu cầu một thuật toán trong một mô hình tính toán bị hạn chế. Có thể không có cách nghiêm ngặt để xác định vấn đề TCS là gì, nhưng hãy sử dụng phán đoán của bạn. Có lẽ một thử nghiệm là "Nếu điều này được giải quyết, rất có thể nó sẽ xuất hiện trong STOC / FOCS? Liệu nhà nghiên cứu đã giải quyết nó rất có thể là một nhà khoa học máy tính lý thuyết?"

Thứ hai, "lâu đời nhất" là gì? Tôi có nghĩa là lâu đời nhất theo ngày. Ngày đã nêu cũng cần được kiểm chứng, nhưng tôi không nghĩ việc này quá khó.

Thứ ba, "vấn đề mở" là gì? Theo "vấn đề mở", ý tôi là một vấn đề được coi là đặc biệt mở vào một lúc nào đó. Có lẽ nó xuất hiện ở phần cuối của một bài báo trong phần vấn đề mở, hoặc có thể có bằng chứng cho thấy một số người đã làm việc với nó và thất bại, hoặc có thể có bằng chứng không chính xác trong tài liệu, cho thấy nó đã được nghiên cứu. Một ví dụ về một cái gì đó không phù hợp với tiêu chí này: "Các đối tượng nghiên cứu trong nhà kính X và Y. Z rõ ràng là một đối tượng trung gian, chắc chắn họ tự hỏi liệu nó có thể được xây dựng không." Nếu không có tài liệu về Z trong khoảng thời gian đó, thì đó không phải là vấn đề mở trong khoảng thời gian đó.

Thứ tư, ý của "vấn đề" là gì? Ý tôi là một câu hỏi "có / không" cụ thể và không phải là câu hỏi "Đặc trưng cho tất cả các đối tượng X với thuộc tính Y", bởi vì những câu hỏi như vậy thường không có câu trả lời thỏa đáng. Rất thường xuyên sẽ có sự bất đồng về việc câu hỏi đã được giải quyết chưa. Chúng ta đừng đi vào những câu hỏi như vậy ở đây. Nếu đó không phải là câu hỏi có / không, nhưng rõ ràng là nó thực sự mở, điều đó cũng tốt. (Trong trường hợp điều này không rõ ràng, bởi "vấn đề", ý tôi là một vấn đề được nêu chính thức. Xin vui lòng không chuyển đổi một số truyền thuyết dân gian về cờ bạc trong thế kỷ 16 sang một câu hỏi về BPP và PSPACE.)

Cuối cùng, vì đây không phải là một câu hỏi lớn, vui lòng chỉ đăng câu trả lời nếu bạn cho rằng nó cũ hơn câu trả lời đã được đăng (hoặc nếu bạn nghĩ rằng câu trả lời được đăng không thỏa mãn một số điều kiện khác - như chúng không phải là TCS, hoặc họ không mở). Đây không phải là một bộ sưu tập bừa bãi của các vấn đề mở cũ.

Độ phức tạp tính toán của phép nhân số nguyên là gì? Có thể cho rằng, câu hỏi này xuất hiện ít nhất là thuật toán 'nhân đôi và hòa giải' để nhân số nguyên được mô tả trong Giấy phép toán học Rhind, được viết vào khoảng năm 1650 trước Công nguyên , nhưng tuyên bố là bản sao của một tài liệu cũ hơn đáng kể.

Phải thừa nhận rằng, giấy cói Rhind không xem xét rõ ràng sự phức tạp của thuật toán. Vì vậy, có thể một câu trả lời tốt hơn là sự phức tạp của việc giải các hệ phương trình tuyến tính là gì? Nghiên cứu các thuật toán hiệu quả để giải các hệ thống tuyến tính ít nhất là từ bình luận của Liu Hui, được xuất bản năm 263 sau Công nguyên , trên Cửu chương về nghệ thuật toán học . Cụ thể, Liu Hui so sánh hai biến thể của hiện được công nhận là loại bỏ Gaussian và đếm số lượng các phép toán số học được sử dụng cho mỗi biến thể, với mục tiêu rõ ràng là tìm ra phương pháp hiệu quả hơn.

Cả hai câu hỏi này vẫn là mục tiêu của nghiên cứu tích cực.

Việc tìm kiếm một thuật toán hiệu quả để bao thanh toán dường như có từ ít nhất là Gauss. Điều 329 của Gauss ' Disquitiones Arithmeticae (1801) đã có trích dẫn sau ( nguồn ):

The problem of distinguishing prime numbers from composite numbers and of resolving the latter into their prime factors is known to be one of the most important and useful in arithmetic. It has engaged the industry and wisdom of ancient and modern geometers to such an extent that it would be superfluous to discuss the problem at length. ... Further, the dignity of the science itself seems to require that every possible means be explored for the solution of a problem so elegant and so celebrated.

Tất nhiên, đúng là Gauss không chính thức xác định chính xác những gì anh ta muốn từ thuật toán bao thanh toán. Anh ấy đã nói trong cùng một bài báo mặc dù về thực tế là tất cả các thuật toán kiểm tra nguyên thủy được biết đến vào thời điểm đó đều rất "tốn công sức và prolix".

Sau đây, trích dẫn từ

• Goldwasser, S. và Micali, S. 1982. Mã hóa xác suất & cách chơi poker tinh thần giữ bí mật tất cả thông tin một phần. Trong Kỷ yếu của Hội nghị chuyên đề ACM hàng năm lần thứ mười bốn về lý thuyết tính toán (San Francisco, California, Hoa Kỳ, ngày 05 - 07 tháng 5 năm 1982). STOC '82. ACM, New York, NY, 365-377. DOI = http://doi.acm.org/10.1145/800070.802212

Đề cập đến một vấn đề khác có từ Gauss 'Disquitiones Arithmeticae (1801):

$(\frac{q}{N})=1$$(\frac{q}{N})$

PS: Đến bây giờ, chúng tôi biết hai trong bốn vấn đề thuật toán :

1. Bao thanh toán (như được đề cập bởi arnab);
2. Quyết định cư trú bậc hai.

hai vấn đề còn lại được mô tả bởi Gauss là gì?

Trong văn học của đất nước chúng ta, có một câu nói, mà theo nghĩa đen tôi dịch là "Câu đố trở nên dễ dàng khi nó được giải quyết." Mặc dù không phải là một bản dịch tốt, nhưng nó đề cập đến thực tế là khi bạn có giải pháp, bạn có thể dễ dàng xác minh nó; Tuy nhiên, trước đó, câu đố có vẻ rất khó.

Điều này đề cập đến vấn đề "FP so với FNP" nổi tiếng hiện nay: Nếu FNP = FP, việc xác minh câu trả lời cho câu đố cũng dễ như tìm thấy nó. Tuy nhiên, nếu FNP ≠ FP, thì tồn tại "câu đố" mà việc tìm giải pháp khó hơn nhiều so với việc xác minh giải pháp.

Tôi tin rằng vấn đề này là vấn đề mở TCS lâu đời nhất, nhưng nó đã được xây dựng nghiêm ngặt từ khoảng 30 năm trước!

There seems to be a similar (yet somehow different!) proverb in the English language: "It's easy to be wise after the event" or "It's easy to be smart after the fact."

EDIT: "Chúng ta có thể tính các số trong đa thời gian không" là một vấn đề mở khác của TCS, nhưng tôi nghĩ nó còn trẻ hơn vấn đề được đề cập ở trên.

Dưới đây là hai danh sách các sự cố mở TCS trên web:

• http://www.c2.com/cgi/wiki?OpenProbolsInComputerScience
• http://garden.irmacs.sfu.ca/?q=carget/theorory_computer_science

Chúng tôi cũng có một danh sách như vậy ở đây trên CSTheory.

Tôi nghi ngờ lý thuyết số loại trừ của bạn liên quan đến câu hỏi liệu một số bộ lý thuyết số là hữu hạn hay vô hạn như là một phần của TCS và chắc chắn sẽ tranh luận khác. người đi biển đặt câu hỏi liệu:

• Có những con số hoàn hảo kỳ lạ? [có thể được xem xét bởi euclid]

• Có vô số số nguyên tố sinh đôi?

$TM_x$$TM_y$

có thể cho rằng đây là hai vấn đề thuật toán cổ xưa và các nhà tiên phong đã đưa ra TCS sớm nhất chủ yếu dưới dạng lý thuyết số và các vấn đề lý thuyết số sớm chỉ là những trường hợp đặc biệt của vấn đề tạm dừng Turings và bằng chứng hoàn cảnh sớm cho sự khó khăn của nó. và có một mối quan hệ chặt chẽ giữa việc hỏi về / tìm kiếm / tìm kiếm bằng chứng và lý thuyết không thể giải quyết được.

nghiên cứu mới được cho là phỏng đoán collatz, một khi được coi là sự tò mò về lý thuyết số, có những điểm yếu sâu sắc đối với lý thuyết tính toán, và có thể nằm ngay ranh giới giữa các vấn đề không thể giải quyết được và có thể quyết định. cũng là ví dụ bạn trích dẫn bài toán hilberts thứ 10 cho thấy mối liên hệ rất cơ bản giữa lý thuyết số và TCS.

hai câu hỏi thuật toán cổ xưa khác:

• một thuật toán hiệu quả hoặc hiệu quả nhất để tính toán gcd, ước số chung lớn nhất là gì?

• một thuật toán hiệu quả hoặc hiệu quả nhất cho các số nguyên tố tính toán là gì?

đồng ý câu hỏi thứ 2 liên quan khá chặt chẽ đến bao thanh toán, nhưng tất nhiên nó không hoàn toàn giống nhau. nó được xem xét bởi sàng và euclid của eratosthenes. tất nhiên nó gần đây đã được hiển thị trong P bởi AKS, nhưng ngay cả khi đó thuật toán không được chứng minh là hoàn toàn tối ưu.

có một nghiên cứu TCS rất hiện đại về thuật toán ecdids gcd (tức là thế kỷ 20) cho thấy rằng các số của Wikipedia mang lại cho nó hiệu suất trường hợp xấu nhất. [không chắc ai đã cho thấy điều này]

cho đến khi thuật toán euclids được chứng minh là tối ưu, tính toán hiệu quả của gcd vẫn còn mở.

Không chắc câu trả lời này nghiêm trọng đến mức nào, nhưng ....

Nó thực sự phụ thuộc vào mức độ rộng rãi mà bạn sẵn sàng để xác định câu hỏi của bạn.

Chắc chắn "người ta có thể chế tạo một cỗ máy thông minh?" là câu hỏi mở lâu đời nhất trong CS bắt đầu khoa học máy tính, nhưng có lẽ đã cũ bởi một hoặc hai nghìn so với CS. Không? (Đây là một câu hỏi lý thuyết, vì nó yêu cầu một câu trả lời - không phải cho chính máy ...)

Một tài liệu tham khảo tự nhiên để tìm kiếm một cỗ máy thông minh sẽ là Golem ... http://en.wikipedia.org/wiki/Golem#History

Tôi có thể trả lời câu hỏi của bạn một cách chắc chắn 100% trong một khoảng thời gian. Nếu chúng ta xem xét khoảng thời gian từ bài báo bán nguyệt của Hartmanis và Stearn đến bất kỳ thời điểm nào trong tương lai, thì vấn đề lâu đời nhất trong TCS vẫn còn mở là:

Chi phí tối thiểu cần thiết cho việc mô phỏng các TM xác định là gì?

$T^{2}(n)$$T(n)$$\log T(n)$

$\log T(n)$