Cây hoàn chỉnh

Cây bao trùm của đồ thị được gọi là cây hoàn chỉnh nếu tập hợp các lá của nó tạo ra một sơ đồ con hoàn chỉnh trong biểu đồ chủ. Cho một đồ thị và một số nguyên k , độ phức tạp của việc quyết định nếu G chứa một cây hoàn chỉnh có nhiều nhất k lá?$G$$k$$G$$k$

Một lý do để đặt câu hỏi này là vấn đề tương ứng cho các cây độc lập là NP hoàn chỉnh, ở đây một cây độc lập là một cây bao trùm sao cho tập hợp các lá của nó là một tập độc lập trong biểu đồ chủ.

Một lý do khác là câu hỏi này (và các câu trả lời tương ứng). Nó chỉ ra rằng mỗi cây bao trùm của là một cây hoàn chỉnh khi và chỉ khi G là một biểu đồ hoàn chỉnh hoặc một chu kỳ. $G$$G$

Trong đồ thị không có hình tam giác, cây hoàn chỉnh phải là một chu trình Hamilton (trừ một trong các cạnh của nó). ISGCI cho biết chu trình Hamilton là NP hoàn chỉnh trong các đồ thị không có hình tam giác. Do đó, việc tìm một cây hoàn chỉnh cũng vậy (không phụ thuộc vào bất kỳ hạn chế nào về số lượng lá tối đa).

Tôi không thể đánh bại David trong câu trả lời của anh ấy. Nhưng sau khi dành nhiều thời gian để suy nghĩ về vấn đề này, tôi muốn phản bội giải pháp của tôi cho bạn;)

Hãy là một interger cố định. Với G , xây dựng H như sau: Lấy hai bản G 1 , G 2 và một bè lũ Q trên k đỉnh x , x 1 , x 2 , ... , x k - 1 , một đỉnh mới y , sửa chữa một đỉnh v 1 ∈ G 1 và một đỉnh v 2 ∈ G 2 . H được lấy từ$k \ge 2$$G$$H$$G_1$$G_2$$Q$$k$$x, x_1, x_2, \ldots, x_{k-1}$$y$$v_1 \in G_1$$v_2 \in G_2$$H$ và y bằng cách tham gia x để v 1 , tham gia x 1 , x 2 , ... , x k - 1 để v 2 và tham gia tất cả các nước láng giềng của v 1 trong G 1 và tất cả hàng xóm của v 2 trong G 2 đến y .$G_1, G_2, Q$$y$$x$$v_1$$x_1, x_2, \ldots, x_{k-1}$$v_2$$v_1$$G_1$$v_2$$G_2$$y$

Sau đó, có thể dễ dàng thấy rằng có chu trình Hamilton khi và chỉ khi H có một cây hoàn chỉnh với nhiều nhất là k lá.$G$$H$$k$