Các thuật toán từ cuốn sách.

Paul Erdos đã nói về "Cuốn sách" nơi Chúa giữ bằng chứng thanh lịch nhất cho mỗi định lý toán học. Điều này thậm chí đã truyền cảm hứng cho một cuốn sách (mà tôi tin rằng hiện đang ở phiên bản thứ 4 của nó): Bằng chứng từ cuốn sách .

Nếu Chúa có một cuốn sách tương tự cho các thuật toán, bạn nghĩ thuật toán nào sẽ là một ứng cử viên?

Nếu có thể, vui lòng cung cấp một tài liệu tham khảo có thể nhấp và (các) thông tin chi tiết chính giúp nó hoạt động.

Chỉ có một thuật toán cho mỗi câu trả lời.

Union-find là một vấn đề hay mà thuật toán / cơ sở hạ tầng tốt nhất ( Disjoint Set Forest ) dựa trên một chồng spaghetti. Mặc dù rất đơn giản và đủ trực quan để giải thích cho một đứa trẻ thông minh, phải mất vài năm để có được sự ràng buộc chặt chẽ về thời gian chạy của nó. Cuối cùng, hành vi của nó được phát hiện có liên quan đến Chức năng Ackermann nghịch đảo, một chức năng mà khám phá của ông đã đánh dấu một sự thay đổi trong quan điểm về tính toán (và thực tế được bao gồm trong On the Infinite của Hilbert ).

Wikipedia cung cấp một giới thiệu tốt về Disjoint Set Forests .

Kết hợp chuỗi Knuth-Morris-Pratt . Tám dòng mã nhỏ nhất mà bạn từng thấy.

Thuật toán của Blum, Floyd, Pratt, Rivest và Tarjan để tìm phần tử thứ k của danh sách chưa sắp xếp theo thời gian tuyến tính là một thuật toán đẹp và chỉ hoạt động vì các số vừa phải phù hợp với Định lý chính. Nó diễn ra như sau:

1. Sắp xếp từng chuỗi năm yếu tố.
2. Chọn ra trung vị trong mỗi.
3. Recur để tìm trung vị của danh sách này.
4. Xoay trên trung vị của trung vị (như trong Quicksort)
5. Chọn bên thích hợp của danh sách và vị trí trong danh sách đó và tái diễn.

Tìm kiếm nhị phân là thuật toán đơn giản, đẹp và hữu ích nhất mà tôi từng sử dụng.

Tôi ngạc nhiên khi không thấy thuật toán Floyd-Warshall cho các đường dẫn ngắn nhất của tất cả các cặp ở đây:

d[]: 2D array. d[i,j] is the cost of edge ij, or inf if there is no such edge.

for k from 1 to n:
  for i from 1 to n:
    for j from 1 to n:
      d[i,j] = min(d[i,j], d[i,k] + d[k,j])

Một trong những thuật toán ngắn nhất, không tầm thường nhất sẽ xuất hiện và hiệu suất rất linh hoạt khi bạn cho rằng có thể có các cạnh . Đó sẽ là con poster của tôi cho lập trình năng động!O ( n 2$O(n^3)$$O(n^2)$

Thuật toán Euclide để tính toán ước số chung lớn nhất (GCD)

Có thể có vẻ hơi tầm thường (đặc biệt là so với các câu trả lời khác), nhưng tôi nghĩ rằng Quicksort thực sự thanh lịch. Tôi nhớ rằng khi tôi lần đầu tiên nhìn thấy nó, tôi đã nghĩ nó thực sự phức tạp, nhưng bây giờ mọi thứ dường như quá đơn giản.

Mã hóa Huffman để nén dữ liệu.

Bài kiểm tra tính nguyên thủy Miller-Rabin (và các bài kiểm tra tương tự) nên có trong Sách. Ý tưởng là tận dụng các tính chất của các số nguyên tố (nghĩa là sử dụng định lý nhỏ của Fermat) để tìm kiếm một nhân chứng cho số không phải là số nguyên tố. Nếu không có nhân chứng được tìm thấy sau khi kiểm tra ngẫu nhiên đủ, số được phân loại là số nguyên tố.

Trên lưu ý đó, bài kiểm tra nguyên thủy của AKS cho thấy PRIMES có trong P chắc chắn phải có trong Sách!

Kiểm tra nhận dạng đa thức với bổ đề Schwartz-Zippel :

Nếu ai đó đánh thức bạn vào giữa đêm và yêu cầu bạn kiểm tra hai biểu thức đa thức đơn biến để nhận dạng, có lẽ bạn sẽ giảm chúng thành dạng tổng hợp của sản phẩm và so sánh để nhận dạng cấu trúc. Thật không may, việc giảm có thể mất thời gian theo cấp số nhân; nó tương tự như việc giảm các biểu thức Boolean thành dạng bình thường khác biệt.

Giả sử bạn là loại người thích các thuật toán ngẫu nhiên, nỗ lực tiếp theo của bạn có thể là đánh giá các đa thức tại các điểm được chọn ngẫu nhiên để tìm kiếm các phản mẫu, tuyên bố các đa thức rất giống nhau nếu chúng vượt qua đủ các bài kiểm tra. Bổ đề Schwartz-Zippel cho thấy khi số lượng điểm tăng lên, cơ hội dương tính giả sẽ giảm đi rất nhanh.

Không có thuật toán xác định cho vấn đề được biết là chạy trong thời gian đa thức.

Độ sâu tìm kiếm đầu tiên . Nó là cơ sở của nhiều thuật toán khác. Nó cũng đơn giản một cách lừa dối : Ví dụ: nếu bạn thay thế hàng đợi trong triển khai BFS bằng ngăn xếp, bạn có nhận được DFS không?

Thuật toán của Dijkstra : bài toán đường dẫn ngắn nhất nguồn đơn cho một biểu đồ với chi phí đường dẫn cạnh không âm. Nó được sử dụng ở mọi nơi và là một trong những thuật toán đẹp nhất hiện có. Internet không thể được định tuyến mà không có nó - nó là một phần cốt lõi của các giao thức định tuyến IS-IS và OSPF (Mở đường dẫn ngắn nhất trước tiên).

1. Gán cho mỗi nút một giá trị khoảng cách. Đặt nó thành 0 cho nút ban đầu của chúng tôi và vô cùng cho tất cả các nút khác.
2. Đánh dấu tất cả các nút là không mong muốn. Đặt nút ban đầu là hiện tại.
3. Đối với nút hiện tại, hãy xem xét tất cả các lân cận không mong muốn của nó và tính khoảng cách dự kiến ​​của chúng (từ nút ban đầu). Ví dụ: nếu nút hiện tại (A) có khoảng cách là 6 và một cạnh kết nối nó với nút khác (B) là 2, khoảng cách đến B qua A sẽ là 6 + 2 = 8. Nếu khoảng cách này nhỏ hơn khoảng cách được ghi trước đó (vô cực ở đầu, 0 cho nút ban đầu), ghi đè khoảng cách.
4. Khi chúng ta hoàn thành việc xem xét tất cả các lân cận của nút hiện tại, đánh dấu nó là đã truy cập. Một nút truy cập sẽ không được kiểm tra nữa; khoảng cách của nó được ghi lại bây giờ là cuối cùng và tối thiểu.
5. Nếu tất cả các nút đã được truy cập, kết thúc. Mặt khác, đặt nút không mong muốn với khoảng cách nhỏ nhất (từ nút ban đầu) làm "nút hiện tại" tiếp theo và tiếp tục từ bước 3.

Các Sieve of Eratosthenes , đơn giản & trực quan.

Tôi cũng thích vẻ đẹp của Thuật toán Horner .

Lược đồ mã hóa hoàn toàn tương đồng của Gentry (trên các mạng lý tưởng hoặc trên các số nguyên) rất đẹp. Nó cho phép bên thứ ba thực hiện các tính toán tùy ý trên dữ liệu được mã hóa mà không cần truy cập vào khóa riêng.

Đề án mã hóa là do một số quan sát quan tâm.

• Để có được một sơ đồ mã hóa đồng cấu hoàn toàn, người ta chỉ cần có một sơ đồ tương đồng với phép cộng và phép nhân. Điều này là do phép cộng và phép nhân (mod 2) là đủ để có các cổng AND, OR và KHÔNG (và do đó Turing Completeness).
• Rằng nếu có một sơ đồ như vậy, nhưng do một số hạn chế chỉ có thể được thực thi đối với các mạch có độ sâu hữu hạn, thì người ta có thể đánh giá một cách đồng hình quy trình giải mã và tái hấp thu để thiết lập lại giới hạn độ sâu của mạch mà không làm mất tính riêng tư của khóa.
• Điều đó bằng cách "nén" độ sâu của phiên bản mạch của chức năng giải mã cho sơ đồ, người ta có thể cho phép một sơ đồ ban đầu giới hạn ở các mạch nông, hữu hạn một số lượng tính toán tùy ý.

Trong luận án của mình, Craig Gentry đã giải quyết một vấn đề mở lâu dài (và tuyệt đẹp) trong ngành mật mã. Thực tế là một sơ đồ đồng hình hoàn toàn tồn tại đòi hỏi chúng ta nhận ra rằng có một số cấu trúc vốn có cho khả năng tính toán mà chúng ta có thể đã bỏ qua.

http://crypto.stanford.edu/craig/craig-thesis.pdf

http://eprint.iacr.org/2009/616.pdf

http://portal.acm.org/cites.cfm?id=1666420.1666445

Các Cooley-Tukey FFT Algorithm .

Thuật toán của Strassen cho phép nhân ma trận.

Các Gale-Shapley thuật toán hôn nhân ổn định . Thuật toán này rất tham lam và rất đơn giản, ban đầu nó không rõ ràng tại sao nó lại hoạt động, nhưng sau đó bằng chứng chính xác lại dễ hiểu.

Thuật toán thời gian tuyến tính để xây dựng các mảng hậu tố thực sự rất đẹp, mặc dù nó không thực sự nhận được sự công nhận mà nó xứng đáng http://www.cs.helsinki.fi/u/tpkarkka/publications/icalp03.pdf

Phép loại trừ Gaussian. Nó hoàn thành trình tự khái quát hóa từ thuật toán GCD của Euclid đến Knuth-Bendix.

Tôi đã rất ấn tượng khi lần đầu tiên nhìn thấy thuật toán lấy mẫu hồ chứa và bằng chứng của nó. Đây là câu đố kiểu "trêu ghẹo não" điển hình với một giải pháp cực kỳ đơn giản. Tôi nghĩ rằng nó chắc chắn thuộc về cuốn sách, cả về thuật toán cũng như các định lý toán học.

Về cuốn sách, câu chuyện kể rằng khi Erdös chết và lên thiên đàng, anh ta yêu cầu được gặp Chúa. Yêu cầu đã được cấp và cho cuộc họp Erdös chỉ có một câu hỏi. "Tôi có thể tìm trong sách không?" Chúa nói đồng ý và dẫn Erdös đến đó. Tự nhiên rất phấn khích, Erdös mở cuốn sách chỉ để xem những điều sau đây.

Định lý 1: ...
Chứng minh: Rõ ràng.

Định lý 2: ...
Chứng minh: Rõ ràng.

Định lý 3: ...
Chứng minh: Rõ ràng.

Các Rùa và thỏ Algorithm . Tôi thích nó bởi vì tôi chắc chắn rằng ngay cả khi tôi đã lãng phí cả cuộc đời để cố gắng tìm ra nó, không có cách nào tôi có thể nghĩ ra một ý tưởng như vậy.

Một ví dụ cơ bản và "tầm thường" như bằng chứng của Euclid về vô số số nguyên tố:

Xấp xỉ 2 cho MAX-CUT - Độc lập cho mỗi đỉnh, gán nó cho một trong hai phân vùng có xác suất bằng nhau.

Tôi đã luôn luôn là một phần của Thuật toán của Christofides mang lại sự gần đúng (3/2) cho TSP số liệu. Trong thực tế, gọi cho tôi dễ dàng để làm hài lòng, nhưng tôi thậm chí thích thuật toán xấp xỉ 2 xuất hiện trước nó . Thủ thuật của Christofides trong việc tạo ra một cây Eulerian có trọng lượng tối thiểu bằng cách thêm khớp với các đỉnh bậc lẻ của nó (thay vì sao chép tất cả các cạnh) là đơn giản và thanh lịch, và chỉ cần thuyết phục một chút rằng khớp này có không quá một nửa trọng lượng của một tour du lịch tối ưu.

Hợp nhất Sắp xếp . Đơn giản, thanh lịch, hiệu quả.

$O(\sqrt N)$

Các thuật toán cho lập trình tuyến tính : Simplex, Ellipsoid và các phương thức điểm bên trong.

http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_programming#Alacticms

Thuật toán Robin Moser để giải một lớp cá thể SAT nhất định. Những trường hợp như vậy có thể giải quyết được bởi Bổ đề địa phương Lovasz. Thuật toán Moser thực sự là một sự khử ngẫu nhiên của tuyên bố của bổ đề.

Tôi nghĩ rằng một số năm, thuật toán của anh ấy (và kỹ thuật chứng minh tính chính xác của nó) sẽ được tiêu hóa tốt và tinh chỉnh đến mức trở thành một ứng cử viên khả thi cho Thuật toán từ Sách .

Phiên bản này là một phần mở rộng của bài báo gốc của ông, được viết bằng Gábor Tardos.

Thuật toán nhanh nhất và ngắn nhất của Marcus Hutter cho tất cả các vấn đề được xác định rõ .

Loại này đi ngược lại với tinh thần của các dịch vụ khác trong danh sách này, vì nó chỉ mang tính lý thuyết và không quan tâm thực tế, nhưng sau đó một lần nữa loại tiêu đề nói lên tất cả. Có lẽ nó nên được đưa vào như một câu chuyện cảnh báo cho những người chỉ nhìn vào hành vi tiệm cận của một thuật toán.

Thuật toán X của Knuth tìm thấy tất cả các giải pháp cho vấn đề chính xác . Điều kỳ diệu về nó là kỹ thuật mà ông đề xuất để thực hiện nó một cách hiệu quả: Dancing Links .

Tôi nghĩ rằng chúng ta phải bao gồm Schieber-Vishkin , trả lời các truy vấn tổ tiên chung thấp nhất trong thời gian không đổi, tiền xử lý rừng theo thời gian tuyến tính.

Tôi thích phần trình bày của Knuth trong Tập 4 Fascicle 1, và sự trầm ngâm của anh ấy . Anh ấy nói anh ấy mất hai ngày để hiểu đầy đủ về nó, và tôi nhớ những lời anh ấy nói:

Tôi nghĩ nó khá đẹp, nhưng đáng kinh ngạc là nó đã bị báo chí xấu trong văn học (..) Nó dựa trên toán học làm tôi phấn khích.