Có giới hạn tự nhiên nào của logic VO thu được P hoặc NP không?

Giấy

• Lauri Hella và José María Turull-Torres, Tính toán các truy vấn với logic bậc cao hơn , TCS 355 197 Tiết214, 2006. doi: 10.1016 / j.tcs.2006.01.009

đề xuất logic VO, logic thứ tự biến. Điều này cho phép định lượng trên các đơn đặt hàng qua các biến. VO khá mạnh mẽ và có thể thể hiện một số truy vấn không tính toán được. (Như đã chỉ ra bởi Arthur Milchior dưới đây, nó thực sự nắm bắt được toàn bộ hệ thống phân cấp phân tích .) Các tác giả cho thấy các mảnh vỡ của VO thu được bằng cách cho phép chỉ giới hạn định lượng phổ cập trên các biến theo thứ tự chính xác thể hiện tất cả các truy vấn ce. VO cho phép các biến thứ tự nằm trong phạm vi các số tự nhiên, do đó, ràng buộc các biến thứ tự rõ ràng là một điều kiện tự nhiên để áp đặt.

Có một đoạn (hay) nào của VO thu được P hoặc NP không?

Tương tự như vậy, trong logic thứ nhất cổ điển cho phép định lượng qua các bộ đối tượng cho ra logic mạnh hơn gọi là logic bậc hai hoặc SO. SO nắm bắt toàn bộ hệ thống phân cấp đa thức ; điều này thường được viết là PH = SO. Có các hình thức hạn chế của SO nắm bắt các lớp phức tạp quan trọng: NP = SO, P = SO-Horn và NL = SO-Krom. Chúng có được bằng cách áp đặt các hạn chế đối với cú pháp của các công thức được phép.$\exists$

Vì vậy, có những cách đơn giản để hạn chế SO để có được các lớp thú vị. Tôi muốn biết nếu có các hạn chế đơn giản tương tự của VO mà gần như là mức biểu cảm phù hợp cho P hoặc NP. Nếu những hạn chế như vậy không được biết đến, tôi sẽ quan tâm đến các đề xuất cho các ứng cử viên có khả năng, hoặc trong một số tranh luận tại sao những hạn chế đó không có khả năng tồn tại.

Tôi đã kiểm tra (một vài) bài viết trích dẫn bài này và kiểm tra các cụm từ rõ ràng trên Google và Học giả, nhưng không tìm thấy gì rõ ràng có liên quan. Hầu hết các bài báo liên quan đến logic mạnh hơn đơn hàng đầu tiên dường như không xử lý các hạn chế để đưa sức mạnh vào vương quốc của các tính toán "hợp lý", nhưng dường như có nội dung trong vũ trụ của các lớp số học và phân tích. Tôi sẽ hài lòng với một con trỏ hoặc cụm từ không rõ ràng để tìm kiếm; điều này có thể được biết đến với một người làm việc trong các logic thứ tự cao hơn.

Lưu ý: Đây không thực sự là trả lời câu hỏi, đây chỉ là một số ý kiến ​​được đăng dưới dạng câu trả lời. :)

Lưu ý rằng trong VO, người ta đang xác định các tập hợp trên tập hợp các số tự nhiên (tương tự như các tập xác định trong lý thuyết đệ quy) trong đó như trong cài đặt độ phức tạp mô tả (SO, -SO, SO-Horn) chúng ta đang nói về các cấu trúc hữu hạn. Một công thức SO trong cài đặt trước sẽ không cung cấp mà toàn bộ hệ thống phân cấp như Arthur Milchior đã viết trong câu trả lời của mình. IMHO, một so sánh tốt hơn sẽ là với các lý thuyết số học bị ràng buộc. Tôi không nghĩ rằng bạn có thể nhận được dưới các bộ ce trừ khi bạn ràng buộc tất cả các bộ lượng hóa vào các miền hữu hạn, để có được hoặc kích thước của các miền phải rất nhỏ.$\exists$$PH$$P$$NP$

sự hiện diện của một bộ định lượng không giới hạn có đủ để chụp các bộ ce không?

Vấn đề là bạn có thể muốn ngôn ngữ không có các ký hiệu bổ sung như đẳng thức, cộng, nhân (phải không?), Nếu chúng ta có chúng theo định lý MRDP, công thức Diophantine (định lượng tồn tại bậc nhất trước một đẳng thức của hai đa thức) sẽ chụp bộ ce. Nếu chúng ta không cho phép các ký hiệu này trong ngôn ngữ, thì vấn đề phức tạp hơn, người ta có thể sử dụng các bộ lượng hóa bậc cao hơn để định nghĩa chúng, nhưng điều đó sẽ làm tăng độ phức tạp của bộ lượng hóa. Vì vậy, nếu tôi muốn đưa ra một câu trả lời ngắn cho câu hỏi của bạn về một bộ định lượng duy nhất, tôi không biết.

Nếu chúng ta có thể biểu thị quan hệ bằng ngôn ngữ, thì một bộ lượng tử tồn tại không giới hạn duy nhất sẽ đủ để chụp các bộ ce, lý do là có thể kiểm tra xem chuỗi có phải là tính toán của TM trên đầu vào . Các công thức bậc nhất được giới hạn bởi các đa thức có sự bình đẳng, cộng và nhân PH, vì vậy nếu chúng ta có chúng trong ngôn ngữ thì câu trả lời là tích cực, nhưng như tôi đã nói, có lẽ bạn đang tìm kiếm một ngôn ngữ không có các ký hiệu này.$AC^0$$AC^0$$c$$e$$x$

Một số ý kiến ​​bổ sung:

Giả sử rằng chúng ta có một hạn chế VO có thể biểu thị ít nhất . Sau đó, một bộ định lượng tồn tại không giới hạn của loại số ở phía trước các công thức bị hạn chế đó sẽ cung cấp cho toàn bộ bộ ce.$AC^0$

Đối với thông tin, VO trên thực tế thực sự mạnh hơn những gì bạn nêu; nó chứa toàn bộ hệ thống phân cấp phân tích (do đó, cũng là toàn bộ hệ thống phân cấp số học). Kết quả không được công bố, không được gửi đến bất kỳ nơi nào, nhưng bạn có thể tìm thấy nó trên trang của tôi, www.milchior.fr/ho.pdf phần 7 trang 47.

$\forall i \forall X^i\forall j\exists Y^j (X^i=Y^j)$$\forall i \forall X^i\forall i\exists Y^i (X^i=Y^i)$$i$$X$$^i$$X$

$\phi(i)$$i$$k$$i>k$$\phi(i)$$k$$\phi(i)$$\forall i \phi(i)$$\forall i < k \phi(i)$

Khác, bạn chắc chắn có thể hạn chế VO bằng cách hạn chế thứ tự tối đa được chấp nhận; nhưng sau đó bạn có được ngôn ngữ "bậc cao" (HO) và đây có thể không phải là thứ bạn muốn.

Để trả lời bình luận của bạn, tôi đoán tôi nên đưa ra một câu trả lời khác, chỉ nói về Krom và Horn (Có thể tôi nên đặt câu hỏi về những điều đó cho CSTheory)

Tôi đề nghị bạn đọc phần 5.3 trang 34 của bài viết của tôi về vấn đề tôi gặp trên Horn và Krom trong logic thứ tự cao. Bạn sẽ gặp vấn đề tương tự trong Thứ tự biến (rõ ràng là siêu bộ của Thứ tự cao).

Tôi không biết nếu bạn đã chú ý đến nó, nhưng SO (krom) bằng với P khi thứ tự đầu tiên là phổ quát; thực sự bạn có thể diễn đạt vấn đề NP-Complete nếu bạn thêm biến thứ tự đầu tiên tồn tại. (Tôi không nhớ ví dụ tôi đã có trước đây. Tôi có thể cố gắng tìm kiếm nó nếu bạn muốn)

Tôi không biết điều kiện tương tác cú pháp này sẽ trở thành logic logic thứ tự cao hay biến đổi nào ... quan điểm của tôi là bạn cũng nên nghĩ ra một cách tốt để kiềm chế các bộ lượng hóa, bởi vì chỉ riêng phần không có bộ định lượng không phải là hữu ích ( ít nhất là cho các công thức Krom)