Giải thích hình học của tính toán

Xuất thân từ Vật lý, tôi đã được đào tạo để xem xét rất nhiều vấn đề từ quan điểm hình học. Ví dụ, hình học vi phân của đa tạp trong các hệ động lực, v.v. Khi tôi đọc các nền tảng của khoa học máy tính, tôi luôn cố gắng tìm các diễn giải hình học. Giống như một cách giải thích hình học hợp lý của các tập hợp đệ quy (tôi đã làm việc ở một phần mà tôi đã cố gắng kết nối chúng với Hình học đại số bằng cách khai thác sự tương đương với Bộ Diophantine nhưng kết nối dường như bị ép buộc và tôi không thể tìm thấy biểu hiện "tự nhiên" của các sự kiện trong đó công thức) hoặc một kết quả hình học đẹp cho một thuật toán đơn giản để sắp xếp các số. Mặc dù tôi không phải là chuyên gia, tôi đã đọc khảo sát về Lý thuyết phức tạp hình học và đây chắc chắn là một chương trình thú vị nhưng tôi thích thú hơn khi có một cái nhìn hình học về các khái niệm cực kỳ cơ bản như động lực học của Turing Machine, Lambda Compus hoặc cấu trúc của ( un) bộ tính toán (thay vì các vấn đề cụ thể). Đây có phải là một công việc vô vọng để tìm cấu trúc hình học trong các đối tượng này hay người ta có thể mong đợi một số kết quả phức tạp? Có công thức nào của TCS xử lý nó về mặt hình học không?

Các ngữ nghĩa của các chương trình máy tính có thể được hiểu theo hình học theo ba cách riêng biệt (và dường như không tương thích).

• Cách tiếp cận lâu đời nhất là thông qua lý thuyết miền . Trực giác đằng sau lý thuyết miền phát sinh từ sự bất cân xứng đằng sau sự chấm dứt và sự hủy diệt.

  Khi xử lý các chương trình mở rộng (nghĩa là chỉ nhìn vào hành vi I / O của chúng chứ không phải cấu trúc bên trong của chúng), luôn có thể xác nhận trong thời gian hữu hạn rằng chương trình tạm dừng - bạn chỉ cần đợi cho đến khi dừng. Tuy nhiên, không thể xác nhận rằng chương trình không dừng lại, vì cho dù bạn có đợi bao lâu, luôn có một chương trình tạm dừng sẽ chạy thêm vài bước so với bạn chờ.

  Kết quả là, tạm dừng và lặp có thể được xem như hình thành một không gian tôpô ( không gian Sierpiński ). Điều này nâng lên các khái niệm quan sát phong phú hơn (thông qua cấu trúc liên kết Scott) và do đó bạn có thể hiểu các chương trình là các yếu tố của không gian tôpô. Các không gian này thường khá đáng ngạc nhiên theo quan điểm truyền thống - các lĩnh vực thường không phải là Hausdorff.

  Giới thiệu tô pô tốt nhất mà tôi biết cho những ý tưởng này là Cấu trúc liên kết ngắn và cực kỳ dễ tiếp cận của Steve Vickers thông qua Logic . Nó có thể được hiểu như là một loại khởi động cho Không gian Đá ghê gớm hơn đáng kể của Peter Johnstone .

  Nếu bạn đang tìm kiếm các ghi chú bài giảng trực tuyến, hãy để tôi đề xuất cấu trúc liên kết tổng hợp các kiểu dữ liệu và không gian cổ điển của Martin Escardo .

• Một quan điểm khác phát sinh từ lý thuyết đồng thời. Một chương trình đồng thời có thể được hiểu là có nhiều lần thực thi hợp lệ (chuỗi các trạng thái), tùy thuộc vào cách các chủng tộc được giải quyết. Sau đó, tập hợp các thực thi có thể được xem như một khoảng trắng, với mỗi chuỗi trạng thái có thể được hiểu là một đường dẫn qua không gian này. Sau đó, các phương pháp từ cấu trúc liên kết đại số và lý thuyết đồng luân có thể được áp dụng để rút ra các bất biến về việc thực hiện chương trình.

  Nir Shavit và Maurice Herlihy sử dụng ý tưởng này để chứng minh tính bất khả thi của một số thuật toán phân tán nhất định, mà họ đã giành được giải thưởng Gôdel 2004. (Xem Cấu trúc tôpô của tính toán không đồng bộ .) Eric Goubault có một bài khảo sát giải thích các ý tưởng liên quan trong một số quan điểm hình học trong lý thuyết đồng thời .

• Gần đây nhất, người ta đã quan sát thấy rằng cấu trúc của loại nhận dạng trong lý thuyết loại phụ thuộc tương ứng rất chặt chẽ với khái niệm loại đồng luân trong lý thuyết đồng luân - thực tế, gần như vậy, lý thuyết loại phụ thuộc thực sự có thể được xem như là một loại "lý thuyết đồng tính tổng hợp"! (Vladimir Voevodsky đã nói đùa rằng ông đã dành nhiều năm để phát triển một phép tính mới cho lý thuyết đồng luân, chỉ để khám phá ra rằng các đồng nghiệp của ông trong khoa CS đã dạy nó cho sinh viên đại học.)

  Xem liên kết của cody ở trên với cuốn sách lý thuyết kiểu đồng luân .

Thật thú vị, ba quan điểm này dường như không tương thích với nhau, hoặc ít nhất là rất khó để hòa giải. Lý thuyết loại phụ thuộc là một ngôn ngữ tổng thể, do đó, không có sự kết hợp (và cấu trúc liên kết Scott) không phát sinh trong đó. Nó cũng là hợp lưu, do đó, quan điểm về tính toán-không gian cũng không phát sinh. Tương tự, việc xây dựng đồng thời về mặt lý thuyết miền đã tỏ ra khó khăn và một tài khoản hoàn toàn thỏa đáng vẫn là một vấn đề mở.

Vì nó chỉ xảy ra như vậy, đã có sự phát triển gần đây trong lý thuyết về các loại phụ thuộc , trong đó một loại, theo truyền thống là bất biến tĩnh cho chương trình máy tính, có thể được hiểu là một không gian tôpô, hay đúng hơn là một lớp tương đương như vậy khoảng trắng (một kiểu đồng âm ).

Đây là chủ đề của nghiên cứu mạnh mẽ trong vài năm qua, mà đỉnh cao là một cuốn sách .

$\lambda$

Bạn biết về GCT, nhưng bạn có thể không biết về công việc trước đây của Mulmuley về việc thể hiện sự tách biệt giữa một tập hợp các phép tính PRAM và P, trong đó sử dụng các ý tưởng hình học về cách tính toán có thể được xem như khắc lên một không gian.

Nhiều giới hạn thấp hơn cho các vấn đề trong mô hình cây quyết định đại số giảm xuống lý do về cấu trúc liên kết của không gian cơ bản của các giải pháp (số Betti hiển thị dưới dạng tham số có liên quan).

Theo một nghĩa nào đó, TẤT CẢ tối ưu hóa là hình học: các chương trình tuyến tính liên quan đến việc tìm điểm thấp nhất của đa giác ở các chiều cao, SDP là các hàm tuyến tính trong không gian của ma trận bán nguyệt, v.v. Hình học được sử dụng rất nhiều trong việc thiết kế các thuật toán ở đây.

Trong chủ đề đó, có một mối liên hệ lâu dài và sâu sắc giữa khả năng của chúng tôi để tối ưu hóa các chức năng nhất định trên biểu đồ và khả năng của chúng tôi để nhúng các không gian số liệu trong các không gian được quy định nhất định. Đây là một tài liệu rộng lớn bây giờ.

Cuối cùng, trong những năm gần đây, đã có rất nhiều sự quan tâm trong cái gọi là cơ chế "nâng và dự án" để giải quyết các vấn đề tối ưu hóa, và chúng sử dụng rất nhiều hình học cơ bản và nâng lên các không gian chiều cao hơn: các khái niệm từ chơi hình học đại số một vai trò quan trọng ở đây.

$T_1$

Một cách để hiểu mối quan hệ giữa xử lý thông tin (còn gọi là "tính toán") và hình học là xử lý thông tin là preceeds hình học. Quan điểm này nên quen thuộc từ một số phần của vật lý. Ví dụ, trong lý thuyết tương đối, chúng tôi nghiên cứu cả cấu trúc nhân quả của không thời gian (xử lý thông tin của nó) cũng như cấu trúc hình học của nó . Nhiều người sẽ coi cái sau là cơ bản hơn cái trước.

Những kết nối này đã được chú ý trong quá khứ và vài năm trước đây đã có một nỗ lực kết nối các khía cạnh lý thuyết thông tin của khoa học máy tính với lý thuyết tương đối. Một trong những nhiệm vụ mà mọi người muốn giải quyết là: bắt đầu từ cấu trúc nhân quả của không thời gian (chỉ là một phần của không thời gian), tái cấu trúc cấu trúc liên kết của không thời gian, hoặc có thể cả hình học. Phục hồi cấu trúc liên kết từ một thứ tự từng phần là loại điều mà lý thuyết miền tốt, vì vậy đã có một số thành công.

Người giới thiệu:

• Các cấu trúc tính toán để mô hình hóa không gian, thời gian và quan hệ nhân quả , Hội thảo Dagstuhl 06341, ngày 20 tháng 8 năm 25, 2006

• Key Martin và Prakash Panangaden: Hình học không thời gian từ cấu trúc nhân quả và phép đo

$U$

diễn giải một cách sáng tạo câu hỏi của bạn, một số khả năng khác ngoài GCT như bạn đề cập đến trong tâm trí. một cách là tìm kiếm những vấn đề không thể giải quyết được (hay còn gọi là Turing hoàn thiện) khá phổ biến.

• ốp lát định kỳ mặt phẳng & ốp lát Penrose . nó đã được chứng minh rằng câu hỏi liệu có một lát gạch khai vị của máy bay là không thể giải quyết được.

• Máy tự động tế bào ngày càng được chứng minh là có mối liên hệ sâu sắc với vật lý, nhiều vấn đề không thể giải quyết được liên quan, đã chứng minh TM hoàn chỉnh và chúng được hiểu một cách tự nhiên là (và được chuyển đổi giữa) các tableaus tính toán.

• $(x,y)$

• Tính không ổn định trong các hệ thống động lực (Hainry), đôi khi lại liên kết chặt chẽ với vật lý. hệ thống động lực thường có một giải thích hình học đa chiều.

• Ngôn ngữ lập trình trực quan . một chương trình có thể được xem như một loại biểu đồ (có hướng?) với các loại đỉnh khác nhau (ví dụ: điều kiện, hoạt động số học), v.v.