Vỏ bọc tần số giới hạn giới hạn: độ cứng gần đúng

Xem xét vấn đề che phủ tập tối thiểu với các hạn chế sau: mỗi bộ chứa tối đa $k$ phần tử và mỗi phần tử của vũ trụ xảy ra trong tối đa $f$ bộ.

• Ví dụ: trường hợp $k = 4$ và $f = 2$ tương đương với bài toán che đỉnh tối thiểu trong đồ thị có bậc 4 tối đa.

Hãy để $a(k,f) > 1$ là giá trị lớn nhất sao cho việc tìm kiếm một $a(k,f)$ -approximation của vấn đề bao gồm thiết lập tối thiểu với các thông số $k$ và $f$ là NP-hard.

• Ví dụ: $a(4,2) \ge 1.0128$ ( Berman & Karpinki 1999 ).

Câu hỏi: Chúng ta có một tài liệu tham khảo tóm tắt các giới hạn dưới mạnh nhất được biết đến trên $a(k,f)$ không? Cụ thể, tôi quan tâm đến các giá trị cụ thể trong trường hợp cả $k$ và $f$ đều nhỏ nhưng $f > 2$ .

Các phiên bản hạn chế của vấn đề bao gồm thiết lập thường thuận tiện trong việc giảm; thông thường có một số quyền tự do trong việc chọn các giá trị của $k$ và $f$ , và thông tin thêm về $a(k,f)$ sẽ giúp chọn đúng các giá trị cung cấp kết quả độ cứng mạnh nhất. Tài liệu tham khảo ở đây , ở đây và ở đây cung cấp một điểm khởi đầu, nhưng thông tin có phần lỗi thời và rời rạc. Tôi đã tự hỏi nếu có một nguồn đầy đủ và cập nhật hơn?

$(\Delta,k)$$(k,f)$$k$$\Delta$$k$$f$$\Delta$$k$

$\varepsilon > 0$$\Delta$

• $\sup_\Delta\{ a(\Delta,k) \}\leq k$
• $\sup_\Delta\{ a(\Delta,k) \}\geq k-1-\varepsilon$ (Dinur et al., 2004) , như đã lưu ý bởi Lev.
• Nếu phỏng đoán trò chơi duy nhất là đúng, thì , rất chặt chẽ (Khot & Regev, 2008) .$\sup_\Delta \{a(\Delta,k)\} \geq k-\varepsilon$

Bỏ qua ,$k$

• $\sup_k\{ a(\Delta,k) \}\leq \Delta$ (tầm thường).
• $\sup_k\{ a(4,k) \}\geq 2-\varepsilon$ (Holmerin, 2002)

Kết quả duy nhất tôi biết rằng kết hợp hai tham số là

• $a(\Delta,k) \leq k - (1-o(1))\left(\frac{k(k-1)\ln\ln\Delta}{\ln(\Delta)}\right)$ cho cố định hoặc tăng chậm với (Halperin, 2002)$k$$k$$\Delta$

Có một mối liên hệ giữa vấn đề này và vấn đề Tập hợp độc lập (Yếu), nhưng tôi không chắc chắn chính xác chúng liên quan đến mức độ gần đúng như thế nào. Tôi muốn khuyên bạn nên điều tra việc này, có lẽ bắt đầu từ đây: [PDF] .

Sử dụng, như trong câu trả lời của James King, ký hiệu cho phép tính xấp xỉ thời gian đa thức tốt nhất có thể có của độ che phủ đỉnh trong hầu hết các siêu đồ thị bậc ở mức tối đa , chúng ta cũng có$a(\Delta,k)$$k$$\Delta$

(1)$a(\Delta,k) \leq \ln \Delta + O(1)$

từ thuật toán xấp xỉ tham lam cho bìa tập hợp: bìa đỉnh trong siêu đồ thị mức độ tối đa giống như bài toán che phủ tập hợp với các tập kích thước tối đa , trong đó thuật toán tham lam có tỷ lệ xấp xỉ ở hầu hết , Trong đó là hàm điều hòa.$\Delta$$\Delta$$H_\Delta$$H_n = 1 + 1/2 + \ldots 1/n \leq \ln n + O(1)$

Trong bài báo này tôi chỉ ra rằng

(2)$\sup_k \{ a(\Delta ,k) \} \geq \ln \Delta - O(\ln\ln \Delta)$

trừ khi , bằng cách thay đổi các tham số trong việc giảm Feige.$P=NP$

Chỉ trong trường hợp bạn chưa tìm thấy nó; kết quả độ cứng gần đây nhất cho Vỏ bọc Vertex độ giới hạn mà tôi tìm thấy trong tìm kiếm gần đây là Chlebik & Chlebikova , ví dụ: khoảng 1,01 độ cứng trong đồ thị hình khối.

Điều này không hoàn toàn trả lời câu hỏi của bạn, nhưng có lẽ nó có thể giúp - có một bài báo [Dinur et al. 2004] bao gồm f> 2 (nhưng dường như không sửa k).