Khó hiểu thuật toán lượng tử cho bài toán phân nhóm ẩn abelian

11

Tôi gặp khó khăn trong việc hiểu các bước cuối cùng của thuật toán AHSP. Hãy để $G$ là một nhóm abel và $f$ là chức năng mà ẩn nhóm con $H$ . Hãy $G^*$ đại diện cho nhóm kép của $G$ .

Dưới đây là các bước của thuật toán

Đầu tiên chuẩn bị nhà nước,

$\qquad \displaystyle I=\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} |g\rangle|0\rangle$ .
Sau đó áp dụng các nhà tiên tri lượng tử đánh giá $f$ trên $I$ , chúng ta nhận được

$\qquad \displaystyle I'=\sum_{g \in G} |g\rangle|f(g)\rangle$ .
Bây giờ đo qubit thứ hai của $I'$ , chúng tôi nhận

$\qquad\displaystyle I'= \left(\frac{1}{|H|}\Sigma_{g \in H} |rh\rangle\right) \otimes |f(rh)\rangle$

đối với một số $r \in G$ .
Bây giờ chúng ta áp dụng biến đổi phạm vi lượng tử trên qubit đầu tiên, chúng ta nhận được

$\qquad \displaystyle I_m = \frac{1}{|H^*|}\sum_{\chi \in H^*} |\chi\rangle$ ,

nơi . $H^*= \{\chi \in G^*: \chi(h)=1 ,\forall h \in H\}$

Bây giờ từ trạng thái làm sao chúng ta có thể nhận được máy phát điện của nhóm ? $I_m$ $H$

ds.algorithms quantum-computing gr.group-theory

— người dùng774025
nguồn

Tôi thực sự khuyên bạn nên đọc ghi chú bài giảng của Andrew Childs trên AHSP. Chúng có sẵn tại math.uwaterloo.ca/~amchilds/teaching/w13/qic823.html

— Robin Kothari

4

Quá trình hậu xử lý cổ điển này khai thác một số tính chất lý thuyết nhóm không tầm thường của các nhóm Abelian. Tôi đã viết một lời giải thích mô phạm về cách thuật toán cổ điển này hoạt động ở đây [1] ; các nguồn tốt khác để đọc là [ 2 , 3 , 4 ].

$H^{*}$ $H^{*}$ $G^{*}$ $O(\log{|G|})$ $H^{*}$

$H$ $H^{*}$

Lý thuyết nhân vật

$G$ $G$

χ_{g} (h) = \exp (2 π i \sum_{i = 1}^{m} \frac{g (i) h (i)}{d_{i}}) .

$\begin{equation} \chi_g(h)=\exp{\left(2\pi i \sum_{i=1}^{m} \frac{g(i)h(i)}{d_i}\right)}. \end{equation}$

g

$g$

χ_{g}

$\chi_g$

G

$G$

g \to χ_{g}

$g\rightarrow \chi_g$

G^{*}

$G^*$

G

$G$

$H$ $H^*$ $H$ $H$

$H^*$ $G$
$H$ $H^{**}$ $H$ $H\cong H^{**}$
$χ_{g} (h) = 1, for every g \in H^{*}$ $\chi_g(h)=1,\quad \textrm{ for every } g\in H^*$ $H$

Phương trình tuyến tính trên các nhóm

$X$ $Y$ $b\in Y$ $\alpha:X\rightarrow Y$

α (x) = b

$\alpha(x)=b$

A

$A$ , theo cách mà vấn đề ở trên có thể được thể hiện lại dưới dạng trong đó chúng ta giả sử .

A x = (\begin{matrix} a_{1} (1) & a_{2} (1) & \dots & a_{n} (1) \\ a_{1} (2) & a_{2} (2) & \dots & a_{n} (2) \\ ⋮ & ⋮ & \dots & ⋮ \\ a_{1} (m) & a_{2} (m) & \dots & a_{n} (m) \end{matrix}) (\begin{matrix} x (1) \\ x (2) \\ ⋮ \\ x (n) \end{matrix}) = (\begin{matrix} b (1) \\ b (2) \\ ⋮ \\ b (m) \end{matrix}) \begin{matrix} \mod d_{1} \\ \mod d_{2} \\ ⋮ \\ \mod d_{m} \end{matrix} = b

$\begin{equation} A x= \begin{pmatrix} a_1(1) & a_2(1) & \cdots & a_n(1)\\ a_1(2) & a_2(2) & \cdots & a_n(2)\\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ a_1(m) & a_2(m) & \cdots & a_n(m) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x(1)\\ x(2)\\ \vdots\\ x(n) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b(1) \\ b(2) \\ \vdots\\ b(m) \end{pmatrix} \begin{matrix} \mod d_1\\ \mod d_2\\ \vdots\\ \mod d_m \end{matrix} = b \end{equation}$

Y = Z_{d_{1}} \times \dots \times Z_{d_{m}}

$Y=\mathbb{Z}_{d_{1}}\times\cdots\times \mathbb{Z}_{d_{m}}$

Quan sát quan trọng cuối cùng là tồn tại các thuật toán cổ điển hiệu quả để quyết định xem các hệ thống này có chấp nhận các giải pháp hay không, đếm chúng và tìm ra chúng (chúng tôi khảo sát một số trong [1] ). Tập hợp các giải pháp luôn có dạng , trong đó là một giải pháp cụ thể và là hạt nhân của (một nhóm con của ). Các thuật toán cổ điển này có thể tìm thấy một giải pháp cụ thể của hệ thống và tính toán một bộ tạo . Các thuật toán cổ điển này sử dụng các hình thức bình thường của Smith $x_0+\ker{\alpha}$ $x_0$ $\ker{\alpha}$ $\alpha$ $X$ $\ker{\alpha}$ để viết lại hệ thống ở dạng gần như chéo (một số bước trung gian khác là cần thiết, nhưng điều đó sẽ cung cấp cho bạn hình ảnh trực quan).

Hệ phương trình mà bạn có được trong trường hợp của bạn mã hóa các ẩn nhóm con . Cụ thể là có dạng , đối với một số đồng cấu nhóm . Hạt nhân của chính xác là nhóm con ẩn. Một giải pháp cụ thể trong trường hợp đó là 0, một giải pháp tầm thường. $H$ $\Omega x = 0$ $\Omega$ $\Omega$

— Juan Bermejo Vega
nguồn

2

Sau bước 4 của bạn, việc đo trong cơ sở tính toán sẽ ngẫu nhiên cung cấp cho chúng tôi một . $I_m$ $\chi \in G^*$

Sau đó chúng tôi lặp lại tất cả các bước bạn đã cho lần để có được một danh sách các ký tự trong nhóm kép của . Danh sách các ký tự này tạo ra một nhóm con của nhóm kép . $n$ $n$ $G$ $K$ $G^*$

Sau đó chúng tôi kiểm tra qua (cổ điển) tất cả các phân nhóm có thể để tìm một nơi là . $H$ $H^*$ $K$

Đối với cố định đây không phải lúc nào cũng là một kết hợp duy nhất, vì vậy khi có sự suy biến, chúng ta sẽ chỉ chọn một trận đấu lớn nhất (vì nhóm phụ tầm thường sẽ khớp với tất cả các danh sách các ký tự). $n$

— WJ Zeng
nguồn