Ví dụ về Toán học không liên quan của nhau đóng vai trò cơ bản trong TCS?

Vui lòng liệt kê các ví dụ trong đó một định lý từ toán học thường không được coi là áp dụng trong khoa học máy tính lần đầu tiên được sử dụng để chứng minh một kết quả trong khoa học máy tính. Các ví dụ tốt nhất là những nơi mà kết nối không rõ ràng, nhưng một khi nó được phát hiện, rõ ràng đó là "cách đúng đắn" để làm điều đó.

Đây là hướng ngược lại của câu hỏi Ứng dụng của TCS vào toán học cổ điển?

Ví dụ, xem "Định lý và cách ly của Green trong đồ thị phẳng" , trong đó một định lý cô lập (đã được biết đến bằng cách sử dụng một bằng chứng kỹ thuật) được chứng minh lại bằng Định lý Green từ phép tính đa biến.

Những ví dụ khác là gì?

Maurice Herlihy, Michael Saks, Nir Shavit và Fotios Zaharoglou đã nhận được giải thưởng Godel năm 2004 vì đã sử dụng cấu trúc liên kết đại số trong nghiên cứu một số vấn đề trong điện toán phân tán.

Tôi có một ví dụ từ một tác phẩm mà tôi là đồng tác giả với Noga Alon và Muli Safra vài năm trước:

Noga đã sử dụng các định lý điểm cố định đại số để chứng minh "Định lý chia vòng cổ": nếu bạn có vòng cổ với các loại hạt t và bạn muốn chia các phần của nó cho mọi người để mỗi người có cùng số hạt từ mỗi loại ( giả sử b chia t), bạn luôn có thể làm điều đó bằng cách cắt vòng cổ ở nhiều nhất (b-1) t.

Chúng tôi đã sử dụng định lý này để xây dựng một đối tượng tổ hợp mà chúng tôi đã sử dụng để chứng minh độ cứng của xấp xỉ Set-Cover.

Một số thông tin khác có ở đây: http://people.csail.mit.edu/dmoshkov/ con / k-restrictions / k-rest.html

Nhìn lại, điều này có thể rõ ràng, nhưng tôi luôn thích ứng dụng của định lý Oleinik-Petrovsky / Milnor / Thom (giới hạn số Betti của các tập bán đại số thực) để chứng minh thấp hơn giới hạn trong cây quyết định đại số và mô hình cây tính toán đại số tính toán.

Một trong những kết quả yêu thích của tôi là việc sử dụng các lập luận tô pô trong chứng minh phỏng đoán Kneser của Lovasz , và sử dụng các phương pháp tô pô ( và lý thuyết nhóm ) trong cuộc tấn công của Kahn-Saks-Sturtevant vào phỏng đoán Aandera-Rosenberg-Karp mạnh mẽ về tính lảng tránh. .

Lý thuyết đại diện của các nhóm hữu hạn được sử dụng trong phương pháp Cohn - Kleinberg - Szegedy - Umans để nhân ma trận . Chúng cho thấy rằng nếu các họ sản phẩm vòng hoa của abelian với các nhóm đối xứng thỏa mãn các điều kiện nhất định tồn tại, thì có các thuật toán nhân ma trận có độ phức tạp bậc hai.

Lý thuyết biểu diễn (của các nhóm đại số) cũng xuất hiện trong phương pháp lý thuyết phức tạp hình học của Mulmuley và Sohoni cho các giới hạn dưới. Vẫn chưa rõ nếu điều này được coi là một ứng dụng, vì chưa có kết quả phức tạp mới nào được chứng minh với phương pháp này, nhưng ít nhất một kết nối thú vị đã được thực hiện giữa hai lĩnh vực mà thoạt nhìn có vẻ hoàn toàn không liên quan.

$IP = PSPACE$

Lý thuyết gần đúng (liên quan đến các hàm gần đúng có thể phức tạp hoặc không tự nhiên có giá trị bằng các hàm đơn giản, chẳng hạn như đa thức bậc thấp) đã có nhiều ứng dụng trong Độ phức tạp mạch, Độ phức tạp truy vấn lượng tử, Pseudorandomness, v.v.

Tôi nghĩ rằng một trong những ứng dụng tuyệt vời nhất của các công cụ từ khu vực này xuất phát từ bài báo này của Beigel, Reingold và Spielman, trong đó họ đã chỉ ra rằng lớp PP phức tạp được đóng dưới giao lộ bằng cách sử dụng chức năng ký hiệu có thể xấp xỉ bằng mức thấp -degree chức năng hợp lý.

Nisan và Szegedy và Paturi cho thấy giới hạn thấp hơn khi tính gần đúng các hàm đối xứng bằng các đa thức bậc thấp. Phương pháp này thường được sử dụng để chứng minh giới hạn truy vấn lượng tử phức tạp thấp hơn. Xem ghi chú bài giảng của Scott Aaronson , ví dụ.

Một ý tưởng hay khác: Ý tưởng của Yao là sử dụng các nguyên tắc minimax và bằng chứng rằng các trò chơi hỗn hợp có trạng thái cân bằng (về cơ bản là lập trình tuyến tính) để hiển thị giới hạn thấp hơn trên các thuật toán ngẫu nhiên (thay vào đó là xây dựng phân phối trên đầu vào cho thuật toán xác định).

Các định lý điểm cố định ở khắp mọi nơi ...

$n$$O(\log n!)$so sánh, duh). Bằng chứng của thực tế này đi qua hình học của các đa giác chiều cao. Cụ thể, bằng chứng sử dụng bất đẳng thức Brunn - Minkowski. Một bài trình bày tốt về điều này là trong cuốn sách Matousek về các bài giảng về hình học rời rạc (Phần 12.3). Bằng chứng ban đầu là của Kahn và Linial, từ đây .

Có rất nhiều ứng dụng của lý thuyết thông tin trong khoa học máy tính lý thuyết: ví dụ, trong việc chứng minh các giới hạn thấp hơn cho các mã giải mã cục bộ (xem Katz và Trevisan), trong bằng chứng của Raz về định lý lặp lại song song, về độ phức tạp trong giao tiếp (ví dụ, chủ đề về công việc nén truyền thông, ví dụ, công việc tương đối gần đây của Barak, Braverman, Chen và Rao, và các tài liệu tham khảo ở đó), và nhiều công việc khác nữa.

Alon và Naor đã sử dụng bất đẳng thức của Grothendieck để chứng minh thuật toán xấp xỉ cho bài toán cắt tối đa . Tôi nghĩ rằng có những tác phẩm tiếp theo về chủ đề đó nhưng tôi không phải là một chuyên gia.

Thật thú vị, định lý tương tự đã được sử dụng bởi Cleve, Hoyer, Toner và Watrous để phân tích các trò chơi XOR lượng tử, và Linial và Shraibman đã sử dụng nó cho sự phức tạp trong giao tiếp lượng tử. Theo hiểu biết của tôi, mối quan hệ giữa bất bình đẳng của Grothendieck và nền tảng của vật lý lượng tử đã được Tsirelson phát hiện vào năm 85, nhưng hai kết quả tôi đã đề cập cụ thể về khoa học máy tính.

Một ví dụ điển hình là định lý của Barrington:

$f$$d$$f$$4^d$

$S_5$

Ổ cắm không biết xấu hổ: sử dụng phỏng đoán Isotropic (và hình học lồi nói chung) trong việc thiết kế các cơ chế riêng tư tối ưu khác nhau cho các truy vấn tuyến tính trong công việc của tôi với Moritz Hardt .

Để trả lời một phần câu hỏi của Suresh ở trên, tôi nghĩ rằng câu hỏi ban đầu hơi khó vì "thường không được xem là áp dụng trong khoa học máy tính". Một số trong những kỹ thuật ban đầu có vẻ "không liên quan" trở thành "bình thường" theo thời gian. Vì vậy, thành công nhất của các kỹ thuật này (ví dụ phân tích Fourier trong Kahn-Kalai-Linial, các số liệu nhúng trong Linial-London-Rabinovich) không còn là câu trả lời hợp lệ nữa.

Tổ hợp cộng gộp / lý thuyết số đã được sử dụng rất nhiều trong tài liệu trích xuất. Tôi nghĩ rằng các trường hợp đầu tiên xuất phát từ việc nhận thấy rằng các biểu đồ Paley có thể được sử dụng như các trình trích xuất tốt và một số câu hỏi mở trong lý thuyết số phụ gia sẽ ngụ ý các biểu đồ tốt hơn. Tài liệu tham khảo sớm nhất mà tôi biết là Zuckerman 1990 (xem luận án của ông ), nhưng trong vài năm qua, đây là một lĩnh vực hoạt động với sự trở lại thú vị giữa TCS và tổ hợp phụ gia. (Một trong những điểm nổi bật là bằng chứng của Dvir về lĩnh vực hữu hạn Kakeya phỏng đoán, nhưng tất nhiên đây là một đóng góp của TCS cho toán học chứ không phải là cách khác.) A-prori không hiểu tại sao các loại câu hỏi toán học này, về các khoản tiền và sản phẩm của bộ, sẽ rất quan trọng đối với CS.

Sleator, Tarjan và Thurston đã chứng minh sự tồn tại của một họ vô hạn các cặp cây tìm kiếm nhị phân với ncác đỉnh và khoảng cách xoay 2n-6bằng hình học hyperbol.

$o(k^2)$

$k^2$

Đại số tuyến tính được sử dụng để phát hiện đồ thị:

Joshua D. Batson, Daniel A. Spielman, Nikhil Srivastava: Người khai thác Twice-ramanujan. STOC 2009: 255-262.

Điều này có thể hoặc không thể tính, nhưng gần đây Zermelo-Fraenkel với các nguyên tử (ZFA) và Fraenkel-Mostowski (FM) đã áp dụng các nghiên cứu về cú pháp trừu tượng với ràng buộc tên. ZFA được giới thiệu vào đầu thế kỷ 20 như một công cụ để chứng minh sự độc lập của CH và sau đó bị lãng quên, nhưng được phát hiện lại vào cuối những năm 1990 bởi hai nhà khoa học máy tính --- Gabbay và Pitts --- nghiên cứu một thứ hoàn toàn không liên quan.

Xem bài khảo sát này chẳng hạn.

Ứng dụng entropy của Kahn và Kim để sắp xếp theo thông tin một phần (http://portal.acm.org/cites.cfm?id=129731). Họ đã đưa ra thuật toán thời gian đa thức đầu tiên thực hiện số lượng so sánh tối ưu về mặt lý thuyết (tối đa là hằng số). Bài báo là một chuyến đi thực địa nhỏ trong toán học, sử dụng một số đối số tổ hợp cổ điển, cùng với hình học lồi, entropy đồ thị và lập trình lồi. Có một thuật toán đơn giản gần đây hơn, nhưng hiện tại chúng ta vẫn biết cách phân tích nó mà không cần entropy.

Lý thuyết số đã được sử dụng để phát triển RSA và các chương trình mã hóa khóa công khai khác.

Việc phát hiện ra phép nhân Karatsuba là đáng ngạc nhiên.