Thông thường, cách mọi người chứng minh rằng một định lý phức tạp tương đối hóa là sử dụng thủ tục hai bước sau đây:
Chứng minh định lý.
Quan sát rằng bằng chứng của bạn tương đối! Nói cách khác, không có gì trong bằng chứng thay đổi cả nếu tất cả các máy được đề cập trong bằng chứng đều có quyền truy cập vào cùng một lời tiên tri A.
Vâng, nó thực sự đơn giản như vậy. Để làm cho nó nghiêm ngặt, bạn nên viết lại toàn bộ bằng chứng thêm các siêu ký tự "A" ở khắp mọi nơi. Tuy nhiên, trên thực tế, nếu mọi người chú ý đến vấn đề này, họ thường sẽ chỉ thêm một nhận xét như "kết quả này dễ dàng được nhìn thấy để tương đối hóa."
Nếu mọi người có vẻ ung dung hơn về điều này, thì đó là vì họ đã học được, từ kinh nghiệm, rằng chỉ một số kỹ thuật nhất định (như tính toán đối xứng) có thể có thể khiến bằng chứng không tương đối hóa. Vì vậy, nếu bằng chứng của bạn không sử dụng các kỹ thuật đó, thì nó sẽ tương đối hóa.
(Một sự tương tự gần gũi: giả sử bạn chứng minh một định lý về số thực, nhưng bằng chứng của bạn không bao giờ sử dụng bất cứ điều gì về thực tế ngoài thực tế chúng là một trường. Sau đó, cần lưu ý rằng thực tế, để chỉ ra rằng một định lý tương tự phải giữ đối với các số phức, p-adics, v.v. Không cần làm lại bằng chứng.)
Một tình huống cần thảo luận nhiều hơn, là ở chỗ nó thậm chí không rõ ràng về ý nghĩa của việc định nghĩa lại định lý của bạn. (Ví dụ, cơ chế truy cập tiên tri là gì?) Như Kaveh đã chỉ ra ở trên, không có hoạt động toán học nào được xác định rõ là "tương đối hóa" một định lý phức tạp, giống như không có hoạt động toán học nào được định nghĩa rõ ràng về "phức tạp hóa" một định lý về các số thực. Lưu ý rằng, trong trường hợp sau, nó không đủ để thay thế mọi lần xuất hiện của R bằng C: có lẽ bạn cũng cần thay x 2 bằng | x | 2 (ở một số nơi, không phải ở những nơi khác!) Và thực hiện các thay đổi khác "rõ ràng" đối với một nhà toán học nhưng khó có thể liệt kê chính thức. Tương tự như vậy, trong lý thuyết phức tạp, nó thườngRõ ràng ý nghĩa của việc "tương đối hóa" một định lý (nghĩa là ai sẽ có quyền truy cập vào A và ý nghĩa của việc họ truy cập nó là gì?), nhưng trong một số trường hợp, nó có thể khá tinh tế. Xem ở đây để biết thêm về vấn đề này.
Quay đầu câu hỏi của bạn, người ta có thể hỏi:
Có ví dụ nào về một định lý phức tạp tương đối hóa, mà khó chứng minh rằng định lý này tương đối hóa hơn định lý đó là đúng không?
Thật thú vị, tôi không thể đưa ra một ví dụ không thể chối cãi (mặc dù có thể người khác có thể)! Đây là điều tốt nhất tôi có thể làm:
Công việc gần đây về điện toán lượng tử mù và xác thực (của Broadbent-Fitzsimons-Kashefi, Reichardt-Unger-Vazirani và những người khác) có thể dẫn đến các ví dụ. Trong những trường hợp, tình hình là chúng ta không biết liệu các định lý tương đối hóa hay không --- nhưng nếu họ làm tương đối hóa, sau đó chắc chắn là một ý tưởng mới sẽ cần vượt qua những gì trong các bằng chứng hiện có.
Có thể cho rằng, một ví dụ khác có thể là khả năng tự giảm ngẫu nhiên của #P. Nếu bạn hỏi hầu hết các nhà lý thuyết phức tạp tại sao điều đó là đúng, có lẽ họ sẽ nói điều đó bởi vì vĩnh viễn là cả # P-hoàn toàn và tự giảm ngẫu nhiên. Điều đó đúng, nhưng nó không trả lời câu hỏi liệu #P có phải là rsr liên quan đến bất kỳ lời sấm truyền nào không. Chà, hóa ra #P là rsr liên quan đến bất kỳ lời sấm truyền nào, và thậm chí không khó để chứng minh điều đó --- nhưng bạn cần đưa ra một cuộc tranh luận trực tiếp bằng cách sử dụng đa thức, thay vì hấp dẫn các thuộc tính vĩnh viễn.
Tại mục 8 của tôi và Avi Wigderson của giấy algebrization , chúng tôi đã chỉ ra rằng định lý GMW (mà NP có tính toán chứng minh zero-kiến thức) được algebrizing. Và điều đó thực sự đã đưa ra những ý tưởng mới: không "mới" một cách đáng kinh ngạc, nhưng chắc chắn không tìm thấy ở đâu trong các bằng chứng thông thường của định lý GMW. Tất nhiên, điều này là để phân chia hơn là tương đối hóa.
Phụ lục: Trả lời câu hỏi tiếp theo của OP, tôi không biết bất kỳ kỹ thuật nào để chỉ ra rằng, nếu bạn có thể chứng minh một phỏng đoán phức tạp nhất định (mà bạn chưa có), thì bằng chứng của bạn sẽ nhất thiết phải tương đối. Có, miễn là bạn hạn chế "tìm kiếm bằng chứng" của mình đối với các kỹ thuật tương đối hóa, bạn có thể chắc chắn rằng, nếu bạn từng thành công trong việc tìm kiếm bằng chứng, thì bằng chứng của bạn sẽ nhất thiết phải tương đối hóa. Và trong thực tế, đó thường là những gì mọi người làm (ví dụ, bởi vì họ có những ý tưởng nhất định về việc một bằng chứng sẽ như thế nào và những ý tưởng đó tương đối hóa). Nhưng tôi không biết cách nào để đảm bảo, một tiên nghiệm , rằng bằng cách mở rộng tìm kiếm của bạn để bao gồm các kỹ thuật không tương đối, bạn không thể tìm thấy bằng chứng nào đã lảng tránh bạn trước đây.