Những định lý thú vị nào trong TCS dựa vào Tiên đề lựa chọn? (Hoặc cách khác, Tiên đề của sự quyết đoán?)

Các nhà toán học đôi khi lo lắng về Tiên đề lựa chọn (AC) và Tiên đề xác định (AD).

Axiom of Choice : Với bất kỳ bộ sưu tập của bộ rỗng, có một hàm f rằng, cho một tập S trong C , trả về một thành viên của S .${\cal C}$$f$$S$${\cal C}$$S$

Tiên đề của tính quyết định : Đặt là một tập hợp các chuỗi bit dài vô hạn. Alice và Bob chơi một trò chơi mà Alice chọn một chút 1 b 1 , Bob chọn một chút 2 b 2 , và như vậy, cho đến khi một chuỗi vô hạn x = b 1 b 2 ⋯ được xây dựng. Alice thắng trận đấu nếu x ∈ S , Bob thắng trận đấu nếu x ∉ S . Giả định là với mỗi S , có một chiến lược chiến thắng cho một trong những người chơi. (Ví dụ: nếu S chỉ bao gồm chuỗi tất cả, Bob có thể giành chiến thắng trong nhiều lần di chuyển chính xác.)$S$$b_1$$b_2$$x = b_1 b_2 \cdots$$x \in S$$x \not \in S$ $S$$S$

Được biết, hai tiên đề này không phù hợp với nhau. (Nghĩ về nó, hoặc đi đến đây .)

Các nhà toán học khác ít chú ý hoặc không chú ý đến việc sử dụng các tiên đề này trong một bằng chứng. Chúng dường như gần như không liên quan đến khoa học máy tính lý thuyết, vì chúng tôi tin rằng chúng tôi làm việc chủ yếu với các đối tượng hữu hạn. Tuy nhiên, do TCS định nghĩa các vấn đề quyết định tính toán là các chuỗi bit vô hạn và chúng tôi đo lường (ví dụ) độ phức tạp thời gian của thuật toán là một hàm tiệm cận so với các hàm tự nhiên, luôn có khả năng việc sử dụng một trong các tiên đề này có thể leo vào một số bằng chứng.

Ví dụ nổi bật nhất trong TCS là gì mà bạn biết một trong những tiên đề này là bắt buộc ? (Bạn có biết ví dụ nào không?)

Chỉ cần báo trước một chút, lưu ý rằng một đối số đường chéo (trên tập hợp tất cả các máy Turing, giả sử) không phải là một ứng dụng của Tiên đề lựa chọn. Mặc dù ngôn ngữ mà máy Turing định nghĩa là một chuỗi bit vô hạn, mỗi máy Turing có một mô tả hữu hạn, vì vậy chúng tôi thực sự không yêu cầu chức năng lựa chọn cho vô số bộ vô hạn ở đây.

(Tôi đặt rất nhiều thẻ vì tôi không biết các ví dụ sẽ đến từ đâu.)

Bất kỳ tuyên bố số học nào có thể chứng minh được trong ZFC đều có thể chứng minh được trong ZF, và do đó không "cần" tiên đề của sự lựa chọn. Theo một câu lệnh "số học", ý tôi là một câu trong ngôn ngữ số học thứ nhất, có nghĩa là nó có thể được chỉ định bằng cách sử dụng các bộ lượng hóa trên các số tự nhiên ("cho tất cả các số tự nhiên x" hoặc "tồn tại số tự nhiên x"), mà không định lượng qua các bộ số tự nhiên. Thoạt nhìn có vẻ rất hạn chế để cấm định lượng đối với các bộ số nguyên; tuy nhiên, các bộ số nguyên hữu hạn có thể được "mã hóa" bằng một số nguyên duy nhất, do đó, có thể định lượng qua các bộ số nguyên hữu hạn.

$P\ne NP$

Nhưng chờ đã, bạn có thể nói, những gì về các phát biểu không đối xứng mà bằng chứng của nó đòi hỏi một cái gì đó như bổ đề của Koenig hoặc định lý cây của Kruskal? Không phải những điều này đòi hỏi một hình thức yếu của tiên đề của sự lựa chọn? Câu trả lời là nó phụ thuộc vào chính xác cách bạn nêu kết quả trong câu hỏi. Ví dụ: nếu bạn nêu định lý nhỏ của biểu đồ trong biểu mẫu, "với bất kỳ tập hợp đồ thị không có nhãn vô hạn nào, thì phải tồn tại hai trong số chúng để một trong số chúng là thứ yếu của cái kia", sau đó cần một số lượng lựa chọn để di chuyển qua bộ dữ liệu vô hạn của bạn, chọn ra các đỉnh, sơ đồ con, v.v ... [EDIT: Tôi đã mắc lỗi ở đây. Như Emil Jeřábek giải thích, định lý nhỏ về đồ thị, hoặc ít nhất là tuyên bố tự nhiên nhất của nó khi không có AC ED là có thể chứng minh được trong ZF. Nhưng modulo sai lầm này, những gì tôi nói dưới đây về cơ bản vẫn đúng. ] Tuy nhiên, nếu thay vào đó bạn hãy viết ra một mã hóa cụ thể bằng số tự nhiên của mối quan hệ nhỏ trên đồ thị hữu hạn dán nhãn, và cụm từ đồ thị định lý nhỏ như một tuyên bố về trật tự một phần đặc biệt này, sau đó báo cáo kết quả trở thành số học và không cần AC tại bằng chứng.

Hầu hết mọi người cảm thấy rằng "bản chất tổ hợp" của định lý phụ đồ thị đã được phiên bản sửa lỗi mã hóa cụ thể và cần phải gọi AC để gắn nhãn mọi thứ, trong trường hợp bạn được trình bày với tập hợp chung- phiên bản lý thuyết của vấn đề, là một dạng giả tạo không liên quan của quyết định sử dụng lý thuyết tập hợp thay vì số học như là nền tảng logic của một người. Nếu bạn cảm thấy như vậy, thì định lý nhỏ của đồ thị không yêu cầu AC. (Xem thêm bài đăng này của Ali Enayat trong danh sách gửi thư của Tổ chức Toán học, được viết để trả lời cho một câu hỏi tương tự mà tôi từng có.)

Ví dụ về số màu của mặt phẳng tương tự như một vấn đề giải thích. Có nhiều câu hỏi khác nhau mà bạn có thể hỏi rằng hóa ra là tương đương nếu bạn giả sử AC, nhưng đó là những câu hỏi riêng biệt nếu bạn không giả sử AC. Từ quan điểm của TCS, trung tâm kết hợp của câu hỏi là khả năng tô màu của các sơ đồ con hữu hạn của mặt phẳng và thực tế là bạn có thể (nếu bạn muốn) sử dụng một đối số rút gọn (đây là nơi AC xuất hiện) để kết luận điều gì đó về số lượng màu sắc của toàn bộ mặt phẳng là thú vị, nhưng có phần quan tâm tiếp tuyến. Vì vậy, tôi không nghĩ rằng đây là một ví dụ thực sự tốt.

Tôi nghĩ rằng cuối cùng bạn có thể gặp nhiều may mắn hơn khi hỏi liệu có bất kỳ câu hỏi TCS nào yêu cầu các tiên đề lớn về độ phân giải của chúng không (thay vì AC). Công trình của Harvey Friedman đã chỉ ra rằng một số tuyên bố chính xác nhất định trong lý thuyết đồ thị có thể yêu cầu các tiên đề lớn về tim (hoặc ít nhất là tính nhất quán 1 của các tiên đề đó). Các ví dụ của Friedman cho đến nay hơi giả tạo, nhưng tôi sẽ không ngạc nhiên khi thấy các ví dụ tương tự cắt xén "tự nhiên" trong TCS trong suốt cuộc đời của chúng ta.

Hiểu biết của tôi là bằng chứng đã biết cho định lý Robertson-Seymour sử dụng Tiên đề lựa chọn (thông qua định lý cây của Kruskal). Điều này khá thú vị theo quan điểm của TCS, vì định lý Robertson-Seymour ngụ ý rằng việc kiểm tra tư cách thành viên trong bất kỳ họ đồ thị đóng nhỏ nào có thể được thực hiện trong thời gian đa thức. Nói cách khác, Tiên đề lựa chọn có thể được sử dụng gián tiếp để chứng minh rằng các thuật toán thời gian đa thức tồn tại cho một số vấn đề nhất định, mà không thực sự xây dựng các thuật toán đó.

Tuy nhiên, điều này có thể không chính xác như những gì bạn đang tìm kiếm, vì không rõ liệu AC có thực sự cần thiết ở đây hay không.

Điều này liên quan đến câu trả lời được đưa ra bởi Janne Korhonen.

Có một luồng kết quả trong những năm 80 và 90 đã cố gắng mô tả các hệ tiên đề (nói cách khác, lý thuyết số học) cần để chứng minh các phần mở rộng của Định lý Kruskal (KTT; KTT ban đầu là từ năm 1960). Cụ thể, Harvey Friedman đã chứng minh một số kết quả sau dòng này (xem SG Simpson. Không thể cung cấp các tính chất tổ hợp nhất định của cây hữu hạn . Ở LA Harrington và cộng sự, biên tập viên, Nghiên cứu về nền tảng toán học của Harvey Friedman. Elsevier, North-Holland, 1985) . Những kết quả này cho thấy (một số phần mở rộng nhất định) KTT phải sử dụng các Tiên đề Hiểu toàn diện "mạnh" (nghĩa là các tiên đề nói rằng tồn tại một số tập hợp logic phức tạp cao). Tôi không biết chính xác về khả năng mở rộng của KTT trong ZF (không có tiên đề lựa chọn).

Song song với luồng kết quả này, đã có một nỗ lực kết nối nó với ("Lý thuyết B") TCS thông qua các hệ thống viết lại . Ý tưởng là xây dựng các hệ thống viết lại (nghĩ về nó như một loại lập trình chức năng, hoặc các chương trình tính toán lambda) mà việc chấm dứt của chúng phụ thuộc vào một số (phần mở rộng) của KTT (kết nối ban đầu giữa KTT và kết thúc hệ thống viết lại đã được chứng minh bằng N Dershowitz (1982)). Điều này ngụ ý rằng để chỉ ra rằng các chương trình nhất định chấm dứt người ta cần các tiên đề mạnh (vì các phần mở rộng của KTT cần các tiên đề như vậy). Đối với loại kết quả này, xem ví dụ A. Weiermann, Giới hạn phức tạp đối với một số dạng hữu hạn của định lý Kruskal , Tạp chí tính toán biểu tượng 18 (1994), 463-488.

${\mathbb R}^2$

Trong Shelah và Soifer, "Tiên đề về sự lựa chọn và số lượng màu của mặt phẳng", điều đó cho thấy rằng nếu tất cả các sơ đồ con hữu hạn của mặt phẳng là bốn màu, thì

• Nếu bạn giả sử tiên đề của sự lựa chọn, thì mặt phẳng có bốn màu.
• Nếu bạn giả sử nguyên tắc của các lựa chọn phụ thuộc và tất cả các bộ đều có thể đo được Lebesgue, thì mặt phẳng là năm, sáu, hoặc bảy màu.

Một số công việc của Olivier Finkel dường như có liên quan đến câu hỏi --- mặc dù không nhất thiết phải nói rõ về Tiên đề của sự lựa chọn --- và phù hợp với câu trả lời của Timothy Chow. Chẳng hạn, trích dẫn bản tóm tắt của Định lý không đầy đủ, Hồng y lớn và Automata về các từ hữu hạn , TAMC 2017 ,

$T_n := ZFC + \text{``There exist (at least) $n$ inaccessible cardinals''}$$n \geq 0$

[Đây không phải là câu trả lời trực tiếp cho câu hỏi của bạn, nhưng nó có thể mang tính gợi ý và / hoặc cung cấp thông tin cho một số người.]

Cuộc thăm dò P so với NP của William Gasarch đưa ra một số thống kê về "cách giải quyết P so với NP":

1. 61 nghĩ P ≠ NP.
2. 9 nghĩ P = NP.
3. 4 nghĩ rằng nó là độc lập . Mặc dù không có hệ thống tiên đề cụ thể nào được đề cập, tôi cho rằng họ nghĩ rằng nó độc lập với ZFC .
4. 3 chỉ tuyên bố rằng nó KHÔNG độc lập với Số học đệ quy nguyên thủy.
5. 1 cho biết nó sẽ phụ thuộc vào mô hình.
6. 22 không có ý kiến.

Wikipedia có một sự thú vị về sự độc lập:

... Những rào cản này cũng khiến một số nhà khoa học máy tính cho rằng vấn đề P so với NP có thể độc lập với các hệ tiên đề tiêu chuẩn như ZFC (không thể được chứng minh hoặc bác bỏ trong chúng). Việc giải thích kết quả độc lập có thể là không tồn tại thuật toán đa thức thời gian cho bất kỳ vấn đề hoàn thành NP nào, và bằng chứng đó không thể được xây dựng trong (ví dụ) ZFC, hoặc các thuật toán thời gian đa thức cho các vấn đề hoàn thành NP có thể tồn tại, nhưng không thể chứng minh trong ZFC rằng các thuật toán như vậy là chính xác [ 1]. Tuy nhiên, nếu nó có thể được hiển thị, sử dụng các kỹ thuật thuộc loại hiện được biết là có thể áp dụng, thì vấn đề không thể được quyết định ngay cả với các giả định yếu hơn nhiều kéo dài các tiên đề Peano (PA) cho số học số nguyên, thì nhất thiết phải tồn tại gần như thuật toán đa thức thời gian cho mọi vấn đề trong NP [ 2 ]. Do đó, nếu một người tin rằng (như hầu hết các nhà lý thuyết phức tạp làm) rằng không phải tất cả các vấn đề trong NP đều có thuật toán hiệu quả, thì nó sẽ tuân theo bằng chứng độc lập sử dụng các kỹ thuật đó là không thể. Ngoài ra, kết quả này ngụ ý rằng việc chứng minh tính độc lập khỏi PA hoặc ZFC bằng các kỹ thuật hiện được biết là không dễ hơn việc chứng minh sự tồn tại của các thuật toán hiệu quả cho tất cả các vấn đề trong NP.

$ZF$

$G$$\chi(H)$$H$$G$$G$

$ZF$