Giảm thiểu tự động trạng thái hữu hạn còn lại

Máy tự động trạng thái hữu hạn dư (RFSA, được định nghĩa trong [DLT02]) là các NFA có một số tính năng đẹp chung với DFA. Đặc biệt, luôn có một RFSA có kích thước tối thiểu chính tắc cho mọi ngôn ngữ thông thường và ngôn ngữ được mỗi tiểu bang trong RFSA nhận ra là một phần dư, giống như trong DFA. Tuy nhiên, trong khi các trạng thái DFA tối thiểu tạo thành một phần tử với tất cả các phần dư, các trạng thái RFSA chính tắc nằm trong phần tử với phần dư chính; có thể có ít hơn theo cấp số nhân, vì vậy RFSA có thể nhỏ gọn hơn nhiều so với DFA để thể hiện các ngôn ngữ thông thường.

Tuy nhiên, tôi không thể biết liệu có một thuật toán hiệu quả để giảm thiểu RFSA hay nếu có kết quả độ cứng. Sự phức tạp của việc giảm thiểu RFSA là gì?

Từ trình duyệt [BBCF10], có vẻ như đây không phải là kiến ​​thức phổ biến. Một mặt, tôi hy vọng điều này sẽ khó khăn vì rất nhiều câu hỏi đơn giản về RFSA như "đây có phải là NFA một RFSA không?" rất khó khăn, hoàn thành PSPACE trong trường hợp này. Mặt khác, [BHKL09] cho thấy các RFSA chính tắc có thể học được một cách hiệu quả trong mô hình giáo viên đầy đủ tối thiểu của Angluin [A87], và học hiệu quả RFSA tối thiểu và giảm thiểu RFSA dường như có độ khó tương đương. Tuy nhiên, theo như tôi có thể nói thuật toán của [BHKL09] không ngụ ý thuật toán tối thiểu hóa, vì kích thước của các ví dụ phản đối không bị giới hạn và không rõ làm thế nào để kiểm tra hiệu quả các RFSA về sự bình đẳng để mô phỏng lời tiên tri đối nghịch . Ví dụ, việc kiểm tra hai NFA cho sự bình đẳng là hoàn thành PSPACE .

Người giới thiệu

[A87] Angluin, D. (1987). Học tập thường xuyên từ các truy vấn và phản mẫu. Thông tin và tính toán, 75: 87-106

[BBCF10] Berstel, J., Boasson, L., Thùng, O., & Fagnot, I. (2010). Tối thiểu hóa automata. arXiv: 1010.5318 .

[BHKL09] Bollig, B., Habermehl, P., Kern, C., & Leucker, M. (2009). Học theo kiểu Angluin của NFA. Trong IJCAI , 9: 1004-1009.

[DLT02] Denis, F., Lemay, A., & Terlutte, A. (2002). Tự động còn lại hữu hạn tự động. Fundemnta Informaticae , 51 (4): 339-368.

Đặt vấn đề "DFA NFA" biểu thị các vấn đề sau: Cho DFA A và số nguyên k , có NFA có nhiều nhất k trạng thái tương đương với A không? Tương tự, hãy để "DFA → RFSA" biểu thị sự cố thu được từ bên trên nếu chúng ta thay thế "NFA" bằng "tự động trạng thái hữu hạn dư".$\to$$A$$k$$k$$A$$\to$

Jiang và Ravikumar đã chỉ ra rằng vấn đề "DFA NFA" đã hoàn tất PSPACE bằng cách giảm bớt vấn đề "tính phổ quát của liên minh DFA". Vấn đề thứ hai đã đưa ra một danh sách các DFAs Một 1 , Một 2 , ... , A n , và hỏi nếu ⋃ n i = 1 L ( A i ) = Σ * .$\to$$A_1,A_2,\ldots,A_n$$\bigcup_{i=1}^nL(A_i) = \Sigma^*$

Giảm của họ đi bằng cách định nghĩa một ngôn ngữ từ những DFAs và một số nguyên phù hợp k , như vậy mà một DFA chấp nhận L có thể được xây dựng trong thời gian đa thức trong kích thước của DFAs Một tôi . Sau đó, họ cho thấy rằng mọi NFA (do đó là một fortiori mỗi RFSA) chấp nhận L cần ít nhất k trạng thái trong trường hợp ⋃ n i = 1 L ( A i ) là phổ quát và ít nhất là k + 1 trạng thái khác. Sau đó, họ xây dựng một k -state NFA N , mà chấp nhận$L$$k$$L$$A_i$$L$$k$$\bigcup_{i=1}^nL(A_i)$$k+1$$k$$N$ iff ⋃ n i = 1 L ( A i ) = Σ * .$L$$\bigcup_{i=1}^nL(A_i) = \Sigma^*$

Bằng chứng này đã được xem xét lại sau đó bởi Gruber và Holzer (Những phát triển trong lý thuyết ngôn ngữ '06). Họ sử dụng giảm tương tự để hiển thị một kết quả hơi khác nhau, trong đó liên quan đến mức độ phức tạp tính toán của các kỹ thuật ràng buộc thấp hơn cho NFAs: An (mở rộng) lừa bộ cho một ngôn ngữ thông thường là một tập hợp S các cặp từ ( x i , y i ) , như vậy mà cho mỗi i giữ x i y i ∈ L nhưng cho tất cả i ≠ j giữ: x i y j ∉ R hoặc x $R$$S$$(x_i,y_i)$$i$$x_iy_i\in L$$i\neq j$$x_iy_j \notin R$ .$x_jy_i\notin R$

$S$$k$$\bigcup_{i=1}^nL(A_i)$$x_i$$S$$N$$q_i$$x_i$$q$$x_i^{-1}L$$N$

$\to$$\to$$\to$$\to$

$N$

T. Giang và B. Ravikumar. Vấn đề NFA tối thiểu là khó khăn. Tạp chí SIAM về máy tính, 22 (6): 1117 Từ1141, tháng 12 năm 1993.

Hermann Gruber và Markus Holzer. Tìm giới hạn dưới cho độ phức tạp trạng thái không điều kiện là khó. Trong Oscar H. Ibarra và Zhe Dang, các biên tập viên, Hội nghị quốc tế về phát triển lý thuyết ngôn ngữ lần thứ 10 (DLT 2006), Santa Barbara (CA), Hoa Kỳ, tập 4036 Bài giảng về khoa học máy tính, trang 363--374. Mùa xuân, tháng 6 năm 2006.

Hermann Gruber và Markus Holzer. Tìm giới hạn dưới cho độ phức tạp trạng thái không phá hủy là khó. Báo cáo kỹ thuật ECCC TR06-027, Colloquium điện tử về độ phức tạp tính toán, 2006.