Các lý do bao quát tại sao các vấn đề nằm ở P hoặc BPP

Gần đây, khi nói chuyện với một nhà vật lý, tôi đã tuyên bố rằng theo kinh nghiệm của tôi, khi một vấn đề có vẻ ngây thơ cần phải có thời gian theo cấp số nhân hóa ra là không cần thiết trong P hoặc BPP, một "lý do bao trùm" tại sao việc giảm xảy ra thường có thể được xác định --- và hầu như luôn luôn, lý do đó thuộc về một danh sách hàng tá "nghi phạm thông thường" hoặc ít hơn (ví dụ: lập trình động, đại số tuyến tính ...). Tuy nhiên, điều đó sau đó khiến tôi suy nghĩ: chúng ta thực sự có thể viết ra một danh sách hợp lý những lý do như vậy không? Đây là một nỗ lực đầu tiên, không đầy đủ tại một:

(0) Đặc tính toán học. Vấn đề có một đặc tính "toán học thuần túy" không rõ ràng, mà một khi đã biết, làm cho ngay lập tức rằng bạn có thể thực hiện tìm kiếm toàn diện trên một danh sách các khả năng poly (n). Ví dụ: độ phẳng đồ thị, theo đó thuật toán O (n ⁶ ) tuân theo định lý của Kuratowski.

(Như "mặt phẳng" chỉ ra bên dưới, đây là một ví dụ tồi: ngay cả khi bạn biết một đặc tính tổ hợp của mặt phẳng, đưa ra thuật toán đa thức thời gian cho nó vẫn còn khá không cần thiết. Vì vậy, hãy để tôi thay thế một ví dụ tốt hơn ở đây: làm thế nào về , giả sử, "đưa ra một đầu vào n được viết bằng nhị phân, tính toán có bao nhiêu màu cần thiết để tô màu một bản đồ tùy ý được nhúng trên một bề mặt có n lỗ." Không rõ ràng là có thể tính toán được điều này (hoặc thậm chí là hữu hạn!). Nhưng có một công thức đã biết đưa ra câu trả lời, và một khi bạn biết công thức đó, thì việc tính toán trong thời gian đa thức là không quan trọng. Trong khi đó, "giảm bớt cho trẻ vị thành niên / lý thuyết Robertson-Seymour" có lẽ nên được thêm vào như một lý do bao quát riêng biệt ở P.)

Dù sao, đây đặc biệt không phải là loại tình huống khiến tôi quan tâm nhất.

(1) Lập trình động. Vấn đề có thể được chia nhỏ theo cách cho phép giải pháp đệ quy mà không bị thổi theo cấp số nhân - thường là do các ràng buộc phải thỏa mãn được sắp xếp theo thứ tự tuyến tính hoặc đơn giản khác. "Hoàn toàn kết hợp"; không cần cấu trúc đại số. Có thể cho rằng, khả năng tiếp cận đồ thị (và do đó 2SAT) là những trường hợp đặc biệt.

(2) Matroids. Vấn đề có cấu trúc matroid, cho phép một thuật toán tham lam hoạt động. Ví dụ: khớp, cây bao trùm tối thiểu.

(3) Đại số tuyến tính. Vấn đề có thể được giảm xuống để giải quyết một hệ thống tuyến tính, tính toán một giá trị xác định, tính toán giá trị bản địa, v.v.

(4) Lồi lõm. Vấn đề có thể được thể hiện như một số loại tối ưu hóa lồi. Lập trình semidefinite, lập trình tuyến tính và các trò chơi tổng bằng không là những trường hợp đặc biệt (ngày càng).

(5) Kiểm tra nhận dạng đa thức. Vấn đề có thể được giảm xuống để kiểm tra một danh tính đa thức, do đó Định lý cơ bản của Đại số dẫn đến một thuật toán ngẫu nhiên hiệu quả - và trong một số trường hợp, như nguyên thủy, thậm chí là một thuật toán có thể xác định rõ ràng.

(6) Chuỗi Markov Monte Carlo. Vấn đề có thể được giảm xuống để lấy mẫu từ kết quả của một bước đi trộn nhanh. (Ví dụ: tính xấp xỉ các kết hợp hoàn hảo.)

(7) Thuật toán Euclide. GCD, phân số tiếp tục ...

Khác biệt / Không rõ ràng chính xác cách phân loại: Hôn nhân ổn định, bao thanh toán đa thức, vấn đề thành viên cho các nhóm hoán vị, các vấn đề khác trong lý thuyết số và lý thuyết nhóm, vấn đề mạng chiều thấp ...

Câu hỏi của tôi là: những điều quan trọng nhất tôi đã bỏ qua là gì?

Làm rõ:

• Tôi nhận ra rằng không có danh sách nào có thể hoàn thành: bất kỳ lý do hữu hạn nào bạn đưa ra, ai đó sẽ có thể tìm thấy một vấn đề kỳ lạ xảy ra ở P nhưng không phải vì bất kỳ lý do nào. Một phần vì lý do đó, tôi quan tâm nhiều hơn đến các ý tưởng đặt ra nhiều vấn đề khác nhau, dường như không liên quan đến P hoặc BPP, hơn là các ý tưởng chỉ hoạt động cho một vấn đề.

• Tôi cũng nhận ra rằng chủ quan làm thế nào để phân chia mọi thứ. Ví dụ, matroids chỉ nên là một trường hợp đặc biệt của lập trình động? Khả năng giải quyết bằng cách tìm kiếm theo chiều sâu đủ quan trọng để trở thành lý do riêng của nó, tách biệt với lập trình động? Ngoài ra, thường thì cùng một vấn đề có thể xảy ra ở P vì nhiều lý do, tùy thuộc vào cách bạn nhìn vào nó: ví dụ: việc tìm một giá trị riêng chính nằm trong P vì đại số tuyến tính, nhưng cũng vì đó là vấn đề tối ưu hóa lồi.

Nói tóm lại, tôi không hy vọng vào một "định lý phân loại" - chỉ cho một danh sách phản ánh hữu ích những gì chúng ta hiện biết về các thuật toán hiệu quả. Và đó là lý do tại sao điều tôi quan tâm nhất là các kỹ thuật để đưa mọi thứ vào P hoặc BPP có khả năng áp dụng rộng rãi nhưng không phù hợp với danh sách trên - hoặc các ý tưởng khác để cải thiện nỗ lực đầu tiên của tôi để làm tốt việc khoe khoang của tôi nhà vật lý.

Một số lớp biểu đồ cho phép thuật toán đa thức thời gian cho các vấn đề NP-hard cho lớp của tất cả các biểu đồ. Ví dụ, đối với các biểu đồ hoàn hảo, người ta có thể tìm thấy một tập độc lập lớn nhất trong thời gian đa thức (nhờ vzn trong một nhận xét để chạy bộ nhớ của tôi). Thông qua việc xây dựng sản phẩm, điều này cũng cho phép một lời giải thích thống nhất cho một số CSP rõ ràng khá khác nhau có thể dễ điều khiển (chẳng hạn như những cấu trúc cây thường được giải quyết bằng phân rã phân cấp và ràng buộc Tất cả khác nhau thường được giải quyết bằng cách khớp hoàn hảo).

Có thể lập luận rằng các đồ thị hoàn hảo là "dễ dàng" bởi vì chúng cho phép các công thức lập trình bán chính xác của các vấn đề đang được đề cập (và do đó thuộc đại số tuyến tính và / hoặc lồi). Tuy nhiên, tôi không chắc chắn rằng hoàn toàn nắm bắt được những gì đang diễn ra.

• András Z. Salamon và Peter G. Jeavons, Những ràng buộc hoàn hảo có thể điều chỉnh được , CP 2008, LNCS 5202, 524 Quay528. doi: 10.1007 / 978-3-540-85958-1_35

• Meinolf Sellmann, Polytope của các vấn đề thỏa mãn ràng buộc nhị phân cấu trúc cây , CPAIOR 2008, LNCS 5015, 367 phản371. doi: 10.1007 / 978-3-540-68155-7_39

Như Gil Kalai đã lưu ý, các thuộc tính của đồ thị hình thành các lớp đóng nhỏ có thể được xác định bởi một tập hợp hữu hạn các vị thành niên bị cấm (đây là định lý Robertson-Seymour ). Một kết quả khác của Robertson và Seymour là việc kiểm tra sự hiện diện của trẻ vị thành niên có thể được thực hiện trong thời gian khối. Những điều này cùng nhau dẫn đến một thuật toán đa thức thời gian để quyết định các thuộc tính được đóng nhỏ.

• Neil Robertson và PD Seymour, Đồ thị nhỏ. XIII. Vấn đề đường dẫn rời rạc , Tạp chí Lý thuyết kết hợp, Sê-ri B 63 (1) 65 Công 110, 1995. doi: 10.1006 / jctb.1995.1006

Một vấn đề với các thuộc tính đồ thị đóng nhỏ là chúng "nhỏ"; không bao gồm một nhỏ chỉ loại trừ rất nhiều đồ thị. Đây có lẽ là một lý do phân rã cấu trúc của Robertson-Seymour: có rất ít đồ thị còn lại để chúng có cấu trúc đẹp.

• Serguei Norine, Paul Seymour, Robin Thomas và Paul Wollan, những gia đình đóng cửa nhỏ đúng cách là nhỏ , Tạp chí Lý thuyết kết hợp, sê -ri B 96 (5) 754, 757, 2006. doi: 10.1016 / j.jctb.2006.01.006 ( in sẵn )

Một nỗ lực để vượt ra ngoài các lớp đóng nhỏ là thông qua các lớp được xác định bởi các sơ đồ con bị cấm hoặc các sơ đồ con bị cấm.

Các thuộc tính đồ thị được xác định bởi một tập hợp hữu hạn của các sơ đồ con bị cấm hoặc các sơ đồ con cảm ứng có thể quyết định trong thời gian đa thức, bằng cách kiểm tra tất cả các sơ đồ con có thể.

$F$$F$$F$$F$

$F$

$F$$F$$F$$F$

• Maria Chudnovsky và Paul Seymour, Trừ đồ thị con gây ra , Khảo sát trong tổ hợp năm 2007, 99-119, Cambridge University Press, ISBN 9780521698238. ( bản thảo )

$F$$F$$F$

Giảm cơ sở mạng (thuật toán LLL). Đây là cơ sở cho yếu tố đa thức số nguyên hiệu quả và một số thuật toán mã hóa hiệu quả như phá vỡ các máy phát đồng quy tuyến tính và RSA mức độ thấp. Trong một số trường hợp, bạn có thể xem thuật toán Euclide như một trường hợp đặc biệt.

Lập trình số nguyên của Lenstra theo chiều giới hạn, thuật toán Lenstra-Lenstra-Lovasz và các thuật toán tiếp theo có liên quan - Thuật toán của Barvinok cho số lượng giải pháp số nguyên cho một vấn đề IP trong giới hạn giới hạn và thuật toán P của Kannan cho bài toán Frobenius / Sylvester có thể được thêm vào như một thể loại đặc biệt. Một vấn đề mở đáng chú ý ở đây là tìm ra thuật toán P cho các vấn đề bậc cao hơn trong Phân cấp Presburger.

Một loại thuật toán P khác đáng được đề cập là những thuật toán P được cung cấp cho đối tượng được chứng minh là tồn tại bằng các bằng chứng ngẫu nhiên. Ví dụ: thuật toán cho các ứng dụng của Bổ đề Lovasz-Local; phiên bản algorimic của kết quả sai lệch Spencer; (của hương vị hơi khác nhau) phiên bản thuật toán của bổ đề thường xuyên Szemeredi.

Có một lý thuyết lớn và vẫn đang phát triển về các lớp các vấn đề thỏa mãn ràng buộc khuôn mẫu cố định có thuật toán đa thức thời gian. Phần lớn công việc này đòi hỏi phải thành thạo cuốn sách Sở thích và MacKenzie , nhưng may mắn cho những người trong chúng ta quan tâm đến khoa học máy tính hơn đại số phổ quát, một số phần của lý thuyết này đã được đơn giản hóa để có thể tiếp cận với khán giả TCS.

$\Gamma$$S$$T$$\Gamma$$S$$T$

$\Gamma$$k \ge 3$$k$$\Gamma$$(0,0,\dots,0)$$S$$0$$T$

$\Gamma$$\Gamma$$\Gamma$$\Gamma$; trong thực tế, điều này có nghĩa là lớp các vấn đề chứa tất cả các bài toán con đơn giản liên tiếp được xem xét bởi người giải quyết ràng buộc, vì vậy quá trình giải quyết ràng buộc sẽ tránh tạo ra các trường hợp trung gian "khó" trong khi giải các bài toán "dễ".

$\Gamma$$\Gamma$

Các kết quả cho đến nay dường như chỉ ra rằng cần có một loại biến đổi năng lượng chung của một không gian trạng thái khả năng tiếp cận cơ bản có thể biến các vấn đề đó thành một vấn đề với một bộ dữ liệu không đổi trong mỗi mối quan hệ, như ví dụ trên. (Đây là giải thích cá nhân của tôi về nghiên cứu liên tục và cũng có thể là hoàn toàn sai , tùy thuộc vào cách tìm kiếm liên tục cho một thuật toán cho đại số với các điều khoản cyclic chảo ra, vì vậy tôi có quyền rút lại này). Được biết, khi có isn Sự chuyển đổi như vậy thì vấn đề là NP-đầy đủ. Biên giới của phỏng đoán phân đôi hiện đang liên quan đến việc thu hẹp khoảng cách này; xem danh sách các vấn đề mở từ Hội thảo về Đại số và CSP năm 2011 .

Trong cả hai trường hợp, điều này có lẽ xứng đáng có một mục trong danh sách của Scott.

Một lớp thứ hai trong PTIME cho phép các kỹ thuật thống nhất cục bộ được áp dụng để cắt tỉa các giải pháp có thể, cho đến khi tìm thấy giải pháp hoặc không có giải pháp nào khả thi. Đây thực chất là một phiên bản tinh vi của cách mà hầu hết mọi người giải quyết các vấn đề Sudoku. Tôi không nghĩ lý do này hiện đang có trong danh sách của Scott.

$\Gamma$

Cuối cùng, cũng có nhiều công việc thú vị được khởi xướng bởi Manuel Bodirsky cho trường hợp của các lĩnh vực vô hạn. Một số thuật toán trông khá lạ và cuối cùng có thể dẫn đến nhiều mục trong danh sách của Scott.

Tôi thấy Chandra đã ám chỉ nó, nhưng tôi nghĩ rằng cấu trúc của sự thư giãn LP (ví dụ do sự không đồng nhất hoàn toàn) là một dạng "cấu trúc" phổ biến dẫn đến đa thức. Nó chiếm một lớp lớn các thuật toán thời gian poly. Nếu một trong đó bao gồm các vấn đề hứa hẹn, nó cũng chiếm một lớp lớn các thuật toán gần đúng. Các loại lý do thường gặp nhất mà người ta bắt gặp không theo LP và / hoặc SDP là loại bỏ Gaussian và lập trình động. Tất nhiên có những lý do khác như thuật toán ba chiều không có giải thích đơn giản.