Sự phức tạp của máy tính nhỏ nhất

Hãy xem xét vấn đề sau.
Dữ liệu vào: Một đồ thị vô hướng . Đầu ra: Một đồ thị H là phần phụ của G có mật độ cạnh cao nhất trong số tất cả các vị thành niên của G , nghĩa là có tỷ lệ cao nhất | E ( H ) | / | V ( H ) | .$G=(V,E)$
$H$$G$$G$$|E(H)|/|V(H)|$

Vấn đề này đã được nghiên cứu chưa? Nó có thể giải được trong thời gian đa thức hay là NP-hard? Điều gì xảy ra nếu chúng ta xem xét các lớp biểu đồ bị hạn chế như các lớp có vị thành niên bị loại trừ?

Nếu chúng ta yêu cầu biểu đồ con dày nhất thay vào đó, vấn đề có thể giải quyết được trong thời gian đa thức . Nếu chúng ta thêm một tham số bổ sung và yêu cầu biểu đồ con dày đặc nhất với các đỉnh k , thì vấn đề là NP-đầy đủ (đây là một giảm dễ dàng từ k -clique).$k$$k$$k$

Ok, vì vẫn chưa có gì ở đây theo cách trả lời, ít nhất hãy để tôi thực hiện một vài quan sát đơn giản:

Đối với các đồ thị của treewidth giới hạn, có thể tìm thấy một phần tử nhỏ nhất (hoặc thậm chí là một phần nhỏ có số cạnh và đỉnh được chỉ định) bằng cách phân loại chương trình động thông thường trên phân rã cây, trong đó mỗi trạng thái của chương trình động theo dõi số cạnh và đỉnh trong một phần của tiểu sống trong một phần phụ của phân rã, tập hợp các đỉnh trong túi phân rã tham gia vào phần phụ, sự tương đương giữa các đỉnh trong tập hợp con này gây ra bởi các cơn co thắt nhỏ trong toàn bộ biểu đồ và một sàng lọc của mối quan hệ tương đương này gây ra bởi các cơn co thắt trong một phần của trẻ vị thành niên sống trong cây con.

Nếu vậy, nó sẽ theo đó, khi mật độ dưới ba, có thể tìm thấy mật độ nhỏ nhất trong thời gian đa thức (với một yếu tố không đổi phụ thuộc vào mức độ gần với ba mật độ). Đối với, các đồ thị mà nhỏ dày đặc nhất có mật độ trẻ vị thành niên Có phẳng cấm và treewidth do đó bị chặn.$\le 3-\epsilon$

Tôi tìm thấy một vấn đề liên quan chặt chẽ trong một bài báo của Bodaender et. al. . Họ xem xét một vấn đề được gọi là co suy đồi, tức là, vấn đề quyết định cho một đồ thị cho và k ∈ N dù tất cả các trẻ vị thành niên của G là k -degenerate. Bây giờ mật độ cạnh trên tất cả các đồ thị con của đồ thị và suy biến là những khái niệm rất giống nhau (nếu đồ thị chứa một đồ thị con có độ trung bình d thì nó cũng chứa một đồ thị con có độ tối thiểu d / 2 ) và tôi nghĩ rằng bằng chứng của chúng có thể được sửa đổi để hiển thị rằng vấn đề tìm kiếm một trẻ vị thành niên dày đặc nhất là NP-đầy đủ.$G$$k\in \mathbb{N}$$G$$k$$d$$d/2$

$k$$k$$O(n^3)$