Là sự sụp đổ của được biết là mở rộng xuống các lớp ở giữa các cấp của nó?

Chứa ở giữa mỗi cấp của hệ thống phân cấp đa thức là các lớp phức tạp khác nhau, bao gồm , , và . Vì thiếu thuật ngữ tốt hơn, tôi sẽ đề cập đến những thứ này và bất kỳ loại nào khác như các lớp trung gian giữa các cấp và trong hệ thống phân cấp đa thức. Đối với mục đích của câu hỏi này, giả sử chúng là các lớp có trong nhưng chứa và / hoặc . Chúng tôi muốn tránh bao gồm $\Delta_i^{\text{P}}$ $\text{DP}$ $\text{BH}_k$ $\Sigma_i^\text{P} \cap \Pi_i^\text{P}$ $i$ $i+1$ $\Sigma_{i+1}^\text{P} \cap \Pi_{i+1}^\text{P}$ $\Sigma_i^\text{P}$ $\Pi_i^\text{P}$ $\Sigma_{i+1}^\text{P} \cap \Pi_{i+1}^\text{P}$ , nếu có thể, vì nó tương đương tầm thường với nếu nó bị sập xuống . $\text{PH}$ ${i+1}^{th}$

Ngoài ra, hãy xác định các mục sau:
$\text{DP}_i = \left \{ L \cap L' : L \in \Sigma_i^\text{P} \text{ and } L' \in \Pi_i^{\text{P}} \right \}$

Trên đây là một khái quát về lớp (cũng được viết ). Trong định nghĩa này, tương đương với . Nó được xem xét trong một câu hỏi cstheory.se khác . Dễ dàng thấy rằng và chứa cả và . $\text{DP}$ $\text{D}^\text{P}$ $\text{DP}$ $\text{DP}_1$ $\text{DP}_i \subseteq \Delta_{i+1}^{\text{P}}$ $\Sigma_i^\text{P}$ $\Pi_i^\text{P}$

Sơ đồ tham khảo:

Sơ đồ PH

Câu hỏi:
Giả sử rằng chữ tượng hình đa thức sụp đổ xuống mức , nhưng không thu gọn đến mức . Đó là, và . ${i+1}^{th}$ $i^{th}$ $\Sigma_{i+1}^\text{P}=\Pi_{i+1}^\text{P}$ $\Sigma_{i}^\text{P}\neq\Pi_{i}^\text{P}$

Chúng ta có thể nói gì thêm về mối quan hệ giữa chính các lớp trung gian này và các lớp khác ở bất kỳ cấp độ nào dưới không? Có một lược đồ cho một tập hợp các lớp phức tạp không, trong đó, đối với mọi bộ sưu tập, các lớp tương đương khi và chỉ khi gọn chính xác đến mức được chọn tùy ý? $i+1$ $\text{PH}$

Cũng giống như một phần tiếp theo, giả sử rằng hệ thống phân cấp đã sụp đổ với bất kỳ một trong các lớp trung gian cụ thể nào (chẳng hạn như ). Tùy thuộc vào lớp được chọn, chúng ta có biết nếu sự sụp đổ này phải tiếp tục kéo dài xuống dưới, thậm chí có thể đến mức không? $\Delta_{i+1}^{\text{P}}$ $i^{th}$

Câu hỏi trên đã được khám phá một phần và được trả lời trong một bài báo của Hemaspaandra et. al:
Sự sụp đổ đi xuống trong hệ thống phân cấp đa thức
Có ai đó tình cờ biết về các ví dụ bổ sung không được đề cập trong bài viết này hoặc có thêm trực giác về những gì cần phải xảy ra để một lớp thực hiện điều này?

cc.complexity-theory polynomial-hierarchy

— mdxn
nguồn

Tôi không có câu trả lời hay, nhưng trong tinh thần phức tạp, tôi có một số câu trả lời gợi ý rằng một câu trả lời tốt có thể khó thực hiện :).

Lưu ý rằng phiên bản tổng quát của Định lý Ladner ngụ ý rằng có vô số độ đa thời gian hoàn toàn nằm giữa và bất kỳ mức độ đa thời gian nào ở trên nó. Cụ thể, nếu hệ thống phân cấp sụp đổ xuống cấp nhưng không phải là thứ , thì có vô số độ p giữa và . $\mathsf{\Sigma_i P}$ $i+1$ $i$ $\mathsf{\Sigma_i P}$ $\mathsf{\Sigma_{i+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{i+1} P}=\mathsf{\Sigma_{i+1} P}$
Nếu tôi nhớ lại một cách chính xác, việc xây dựng một nhà tiên tri mà vẻ như hệ thống phân cấp số học vẫn là một vấn đề mở. Bởi "trông giống như hệ thống phân cấp số học", ý tôi là không sụp đổ và cho tất cả . Điều này ít nhất gợi ý rằng câu trả lời cho câu hỏi của bạn có thể không được biết. $\mathsf{PH}$ $\mathsf{PH}$ $\mathsf{\Sigma_{k} P} \cup \mathsf{\Pi_k P} \subsetneq \mathsf{\Delta_{k+1} P} = \mathsf{\Sigma_{k+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{k+1} P}$ $k$
Ker-I Ko đưa ra các tiên tri trong đó anh ta tách các cấp độ với các cấp độ của . Vì hai hệ thống phân cấp này đan xen lẫn nhau, điều này cung cấp cho bạn ít nhất một số thông tin về sự sụp đổ tương đối của các vấn đề giữa các cấp độ . $\mathsf{BPH}$ $\mathsf{PH}$ $\mathsf{PH}$
Tài liệu tham khảo tiếp theo này là hướng sai, nhưng bạn cũng có thể quan tâm đến kết quả và kỹ thuật của nó. Chang và Kadin đã chỉ ra rằng nếu hệ thống phân cấp Boolean (sống hoàn toàn dưới mức thứ hai của , nhưng mở rộng thành toàn bộ hệ thống phân cấp) sẽ sụp đổ xuống cấp thứ thì sụp đổ đến cấp thứ của hệ thống phân cấp Boolean trên . $\mathsf{PH}$ $\mathsf{DP}$ $k$ $\mathsf{PH}$ $k$ $\mathsf{\Sigma_2 P}$

— Joshua Grochow
nguồn

Nên be

Σ_{k} P \cup Π_{k} P ⊊ Δ_{k} P = Σ_{k + 1} P \cap Π_{k + 1} P

$\mathsf{\Sigma_{k} P} \cup \mathsf{\Pi_k P} \subsetneq \mathsf{\Delta_k P} = \mathsf{\Sigma_{k+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{k+1} P}$

Δ_{k} P = Σ_{k} P \cup Π_{k} P ⊊ Δ_{k + 1} P = Σ_{k + 1} P \cap Π_{k + 1} P ?

$\mathsf{\Delta_{k} P}=\mathsf{\Sigma_{k} P} \cup \mathsf{\Pi_k P} \subsetneq \mathsf{\Delta_{k+1} P} = \mathsf{\Sigma_{k+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{k+1} P}?$

— T ....

xin lỗi nhưng tôi nghĩ đúng không? Ví dụ:

Σ_{k - 1}^{P} \cup Π_{k - 1}^{P} \subseteq Δ_{k}^{P} \subseteq Σ_{k}^{p} \cap Π_{k}^{P} \subseteq Σ_{k}^{P} \cup Π_{k}^{P}

$\Sigma_{k-1}^P\cup\Pi_{k-1}^P\subseteq \Delta_k^P\subseteq \Sigma_k^p\cap\Pi_k^P\subseteq \Sigma_k^P\cup\Pi_k^P$

P = Σ_{0}^{P} \cup Π_{0}^{P} = P \cup P \subseteq Δ_{1}^{P} = P \subseteq Σ_{1}^{p} \cap Π_{1}^{P} = N P \cap c o N P \subseteq Σ_{1}^{P} \cup Π_{1}^{P} = N P \cup c o N P \subseteq Δ_{2}^{P} = P^{N P} \subseteq Σ_{2}^{P} \cap Π_{2}^{P} \subseteq Σ_{2}^{P} \cup Π_{2}^{P} \dots

$P=\Sigma_{0}^P\cup\Pi_{0}^P=P\cup P\subseteq \Delta_1^P=P\subseteq \Sigma_1^p\cap\Pi_1^P=NP\cap coNP\subseteq \Sigma_1^P\cup\Pi_1^P=NP\cup coNP\subseteq \Delta_2^P=P^{NP}\subseteq\Sigma_2^P\cap\Pi_2^P\subseteq\Sigma_2^P\cup\Pi_2^P\dots$

— T ....